il processo di  antiderivazione

 In figura è rappresentata la funzione seno: g=sin. In corrispondenza all'ascissa x=a_x si considera l'ordinata sin x  e quindi il punto h=(x, sin x). Successivamente si conduce dal punto (0, sin x) il segmento verso il punto (-1,0). Tale segmento ha pendenza pari al valore di sin x. Pertanto una antiderivata (o, con altro termine più utilizzato: primitiva) della funzione seno deve avere nel punto di ascissa x=a_x pendenza pari a quella del suddetto segmento e quindi, in corrispondenza ad un incremento molto piccolo d_x dell'ascissa riceve un incremento dell'ordinata pari al cateto verticale del triangolino grigio in figura (di ipotenusa congiungente  a  con  f ). Tale avanzamento è pari a  (sin x)· d_x .  Muovendo il punto c sotto l'asse delle ascisse vedrai visualizzato il rettangolo avente tale prodotto come area. Pertanto una funzione approssimante tale primitiva, partendo da un punto di ascissa e ordinata fissata (a piacere), muovendosi di n passi d_x in orizzontale in corrispondenza incrementerà l'ordinata della somma delle aree di rettangoli come il precedente (premi il pulsante Step per avanzare di un numero n di passi a piacere, dopo aver regolato il d_x desiderato; ricorda che la pressione sulla barra spaziatrice equivale al clic sul pulsante Step, che per ritornare all'inizio va cliccato il pulsante Clear, e infine che per plottare la traccia va selezionata la opzione Plot).
Indicando con α  l'ascissa iniziale  a_x , con  δ  il passo d_x  e con  F_δ la funzione approssimante la primitiva, si ha: 
                              F_δ(α+nδ) - F_δ(α) =  Σ _k=0...n-1 g(α+kδ)· δ .
In tutto questo processo siamo partiti dallo scegliere all'inizio il passo δ=d_x di avanzamento orizzontale. Se invece (vedi la figura sotto) partiamo da un valore  x=β  dell'ascissa in cui valutare la funzione approssimante la primitiva e da un numero  n (da scegliere nella figura aprendo la finestra Details) in cui dividere  β-α , otteniamo  δ=(β-α)/n  e, posto  f_n=F_δ  e  x_k=α+kδ , abbiamo:
                             f_n(β) - f_n(α) = Σ _k=0...n-1 g(x_k)· δ = Σ _k=0...n-1  g(x_k) · ( x_k+1 - x_k )
e per l'effettiva primitiva  F :
                             F(β) - F(α) =  lim _{n -> ∞}   Σ _k=0...n-1  g(x_k) · ( x_k+1 - x_k ) .
Tale limite è l'area con segno del  trapezoide  della funzione  g  esteso da α  a β , ossia l'integrale definito della funzione  g   esteso da  a   α   β :

in questa figura il valore iniziale dell'ascissa è  m (ossia  α=m è il valore iniziale, attualmente pari a -0.4, di a_x); il valore di n va fissato nella finestra Details, ed è pari inizialmente a 10; il punto k descrive la funzione f_n , estesa da  α=m  a  β=b_x . L'ascissa iniziale di  a  deve essere pari esattamente a m, che, come detto, è pari a -0.4 (ma può essere modificato al pari di n in Details, avendo l'accortezza di porre il nuovo valore anche nella casella dell'ascissa di  a).