Un'applicazione del numero di Nepero in meccanica

Tensioni agli estremi di contatto tra una puleggia e una cinghia.

La tensione v_t (a un estremo dell'arco di contatto fra cinghia e puleggia), viene trasformata nella tensione v_T, (all'altro estremo di contatto), per effetto di un coefficiente di attrito   f   che agisce lungo l'arco di contatto   α.
La relazione tra le intensitā   t   e   T   delle tensioni suddette č:   T = t exp(fα) = lim _n→∞ t ( 1 + f α/n )ⁿ.

Le variabili in gioco sono le seguenti:
- tensione iniziale: t
- tensione finale: T
- arco: α
- coefficiente di attrito: f .
La tensione in uscita τ + Δτ, risultante dall'incremento Δτ che si aggiunge a una tensione τ in entrata su un intervallo di arco “piccolo” Δα, per effetto dell'attrito sviluppato lungo Δα stesso, è pari a:
τ + Δτ = τ + τ f Δα = τ ( 1 + f Δα )
(infatti più piccolo è l'arco Δα, più è lecito supporre che sia la sola tensione iniziale τ a determinare l'incremento di tensione Δτ, che risulta così proporzionale (con coefficiente di proporzionalità f) all'arco Δα e alla tensione in entrata τ).
Se dividiamo l'arco α in n parti uguali, possiamo prendere Δα = α/n e la trasformazione dalla tensione in entrata sull'archetto a quella in uscita diventa:
τ → τ + τ f α/n = τ ( 1 + f α/n )
Pertanto considerando le tensioni sviluppate agli estremi degli archetti α/n (con n sufficiente alto da mantenere l'arco Δα = α/n sufficientemente piccolo) disposte in una sequenza t = t₀ , t₁ , t₂ , … , t_n = T_n , dove T_n rappresenta l'ultima tensione in uscita (dopo l'ennesimo archetto pari a α/n , e quindi al termine dell'arco α), si ha che esse costituiscono una progressione geometrica di ragione ( 1 + f α/n ) :
t = t₀, t₁ = t₀(1 + f α/n) , t₂ = t₁(1 + f α/n) = t₀(1 + f α/n)² , … , t_n = T_n = t₀ (1 + f α/n)ⁿ.
La tensione finale effettiva T è il limite della tensione approssimata T_n quando n→∞ , ossia:
T = lim _n→∞ T_n = lim _n→∞ t₀ (1 + f α/n)ⁿ = lim _n→∞ t (1 + f α/n)ⁿ = t exp(f α)
( ricordiamo che lim _n→∞ ( 1 + x/n )ⁿ = exp(x) = e ^x ). Per ulteriori informazioni vedi   qui .

puoi agire sul punto A (che determina l'arco di contatto) sul numero n che dā la suddivisione