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operazione |
input |
output |
proprietà |
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| addizione + |
2 dati (punti/vettori): "addendi" |
1 risultato (punto/vettore): "somma" |
regola del parallelogramma (o della traslazione) |
assiomi: commutatività associatività neutralità di 0 |
| opposizione - |
1 dato (punto/vettore) | 1 risultato (punto/vettore): "opposto" |
simmetria rispetto al punto 0 | assioma: simmetricità |
| sottrazione - |
2 dati (punti/vettori): 1) "minuendo" 2) "sottraendo" |
1 risultato (punto/vettore): "differenza" |
definizione: a - b = a + ( - b ) |
proprietà derivate dagli assiomi: teoremi. Ad esempio: a+b=c ⇔ a=c-b |
| moltiplicazione naturale • | <nulla> |
2 dati: 1) "coefficiente|moltiplicatore" (numero naturale non nullo) 2) "moltiplicando" (punto/vettore) |
1 risultato (punto/vettore): "prodotto" |
definizione: n•a = a+ ...(n volte)... +a |
teoremi ; ad es.: n•(a+b)=n•a+n•b (n+m)•a=n•a+m•a m•(n•a) = (m•n)•a n•(-a) = - n•a |
| moltiplicazione intera • | <nulla> |
2 dati: 1) "coefficiente|moltiplicatore" (numero intero relativo) 2) "moltiplicando" (punto/vettore) |
1 risultato (punto/vettore): "prodotto" |
definizione: 0•a = 0 ; (-n)•a = - n•a |
teoremi ; ad es.: n•(a+b)=n•a+n•b (n+m)•a=n•a+m•a m•(n•a) = (m•n)•a n•(-a) = - n•a = (-n)•a |
| divisione naturale : | / |
2 dati: 1) "dividendo" (punto/vettore) 2) "divisore" (numero naturale non nullo) |
1 risultato (punto/vettore): "quoziente" |
regola di Talete per la divisione intera |
assioma (divisibilità): l'equazione n•x = a ha per unica soluzione x =a/n |
| divisione intera : | / |
2 dati: 1) "dividendo" (punto/vettore) 2) "divisore" (numero intero non nullo) |
1 risultato (punto/vettore): "quoziente" |
definizione: x = a/n ⇔ n•x=a |
teoremi ; ad es.: a/(-n) = - a/n = (-a)/n (m•a)/(m•n) = a/n (a/m)/n = a/(m•n) (a/m)+(b/n)=(na+mb)/(mn) |
| frazione semplice / |
2 dati: 1) "numeratore" (numero intero) 2) "denominatore" (numero intero non nullo) |
1 risultato (numero razionale): "rapporto" |
caso particolare della divisione intera Q = {m/n : m∈Z, n∈N, n≠0} (insieme dei num. razionali) |
teoremi ; ad es.: (-m)/n = - m/n = m/(-n) (m•n)/(m•n') = n/n' (k/m)/n = k/(m•n) (h/m)+(k/n)=(nh+mk)/(mn) |
| moltiplicazione razionale • | <nulla> |
2 dati: 1) "coefficiente|moltiplicatore" (numero razionale) 2) "moltiplicando" (punto/vettore) |
1 risultato (punto/vettore): "prodotto" |
definizione: se x = m/n , |
teoremi ; ad es.: x•(a+b)=x•a+x•b (x+y)•a=x•a+y•a x•(y•a) = (x•y)•a x•(-a) = - x•a = (-x)•a (h/m)•(k/n)=(h•k)/(m•n) |
| divisione razionale : | / |
2 dati: 1) "dividendo" (punto/vettore) 2) "divisore" (numero razionale non nullo) |
1 risultato (punto/vettore): "quoziente" |
definizione: x = a/r ⇔ r•x=a |
teoremi ; ad es.: a/(m/n)=(n/m)•a a/r = (s•a)/(s•r) (a/r)/s = a/(r•s) (h/m)/(k/n)=(h•n)/(k•m) |
| moltiplicazione reale • | <nulla> |
2 dati: 1) "coefficiente|moltiplicatore" (numero reale) 2) "moltiplicando" (punto/vettore) |
1 risultato (punto/vettore): "prodotto" |
regola di Talete per la moltiplicazione a coefficiente reale |
assiomi : 1•a = a x•y = y•x (x•y)•a = x•(y•a) x•(a+b) = x•a + x•b (x+y)•a = x•a + y•a teoremi |
| divisione reale : | / |
2 dati: 1) "dividendo" (punto/vettore) 2) "divisore" (numero reale non nullo) |
1 risultato (punto/vettore): "quoziente" |
definizione: a' = a/x ⇔ x•a' = a 1/x è detto inverso di x |
assioma ( divisibilità ) : se x≠0, l'equazione x•q = a ha per unica soluzione q =a/x. Teoremi ; ad es.: a/x = (1/x)•a ( nota ) a/x = (x'•a)/(x'•x) (a/x)/x' = a/(x•x') |