Approfondimento: alcuni teoremi sull'addizione e l'opposizione

Gli assiomi additivi caratterizzano un tipo di struttura algebrica detta gruppo commutativo (o gruppo additivo). Da essi possono essere ricavate alcune notevoli proprietą, usate nel calcolo algebrico elementare:

• passaggio di un addendo da un membro all'altro di un'uguaglianza: se   z + w = v   allora   z = v - w     e     w = -z + v
  • infatti: partendo da z+w =v si aggiunge -w ad entrambi i membri dell'uguaglianza
  • si ottiene: (z+w)+(-w)=v+(-w) e per via degli assiomi additivi: z+(w-w)=v-w da cui: z+0=v-w da cui: z=v-w
  • analogamente si procede per dedurre w=-z+w
• centralitą dello zero: - 0 = 0
  • partendo da 0+0=0 (neutralitą di 0) si applica la proprietą precedente: 0=-0+0=-0
• involutivitą dell'opposizione: - ( - z ) = z
  • partendo da z+(-z)=0 (simmetria) si porta -z al 2° membro: z=0-(-z)=-(-z)
• distributivitą dell'opposizione rispetto all'addizione: - ( z + w ) = - z - w
  • da (z+w)-(z+w)=0 segue: z+(w-(z+w))=0, quindi w-(z+w)=-z, quindi -(z+w)=-z-w
• distributivitą dell'opposizione rispetto alla sottrazione: - ( z - w ) = - z + w
  • questa non č altro che la proprietą precedente combinata con l'involutivitą dell'opposizione.
    E' questa proprietą che si applica per dedurre uguaglianze del tipo: -5+3=-(5-3)=-2.