DETERMINANTE   e   AREA "CON SEGNO"   nel piano

 

Chiamiamo area con segno o determinante di due vettori  u  e  v  un numero associato a tali due vettori (che possiamo considerare anche come punti) nel piano secondo una funzione  area(u , v) ,  indicata più spesso come det(u , v) che esprime intuitivamente una valutazione numerica associata al parallelogramma individuato dai due vettori e pertanto soddisfa alle seguenti proprietà:

 

1) det(1 , i) = 1     

     [questa è detta proprietà di "normalizzazione"; 1 e i sono le unità coordinate del piano:  1=(1,0) e i=(0,1). Questa proprietà esprime il fatto che l'area del quadrato individuato da tali vettori unità è posta uguale a 1]

 

2) det(k u , v) = det(u, k v) = k det(u , v)

     [questa proprietà esprime il fatto che l'area viene moltiplicata per un fattore k quando uno dei due vettori viene moltiplicato per tale fattore. Notiamo esplicitamente che se k è negativo, l'area cambia di segno al cambiare del verso di uno dei due vettori; ciò comporta il fatto che il concetto di area con segno porta in sé non solo informazioni sull'estensione del parallelogramma, ma anche su caratteristiche di disposizione dei due vettori che si chiariranno meglio tramite le successive proprietà]

 

3) det(u , v) = det(u , v + k u) =  det(u + k v , v)

     [questa proprietà esprime il fatto che l'area del parallelogramma rimane la stessa se si "slitta" uno dei due vettori parallelamente all'altro, ossia in modo che il suo secondo estremo resti sempre sulla stessa retta parallela all'altro vettore]

 

A partire da queste tre proprietà si possono dedurre le seguenti ulteriori proprietà:

 

4)  det(u , u) = 0

 

Ciò esprime il fatto che il parallelogramma definito da uno stesso vettore preso come entrambi i lati è schiacciato e quindi ha area nulla. Per dimostrare questa proprietà partiamo con l'osservare che in virtù della proprietà (2), considerata per k=0, si ha:  

 

      det(0 , v) = det(u , 0) = 0

 

quindi la prima ugluaglianza nella proprietà (3), considerata per v=0 e k=1, conduce alla uguaglianza: 

 

     det(u , 0) = det(u , 0 + 1 u) = det(u , u) 

 

per cui si ha la (4). Notiamo che, in base alla (2), si ha quindi anche:  det(h u , k u) = 0

 

 

 

 

6)  det(u + u' , v) =  det(u , v) + det(u' , v)    e   det(u , v + v') = det(u , v) + det(u , v')

 

Questa proprietà è detta "additività del determinante". In virtù della (5), basta dimostrare solo la prima parte della (6), in quanto la seconda parte si può trattare tramite lo scambio dell'ordine dei vettori gestito tramite la (5). Per dimostrare che  det(u + u' , v) =  det(u , v) + det(u' , v) notiamo innanzitutto che tale uguaglianza è vera se v=0 (in quanto si riduce a: 0=0+0) e quando u  è multiplo di v, in quanto, in tal caso, la (3) asserisce che si ha  det(u+u',v)=det(u',v) e la (2) più la (4) comportano che det(u,v)=0). Quindi possiamo supporre che vsia diverso da 0 e che u  non sia multiplo di v (e in particolare u non sia nullo, nel qual caso sarebbe un multiplo "banale" di v, ovvero u=0v).

Allora si ha che  u'  è esprimibile come somma di un multiplo di u e di un multiplo di v:   u' = h u + k v, per cui:

 

  det(u + u' , v) = det(u + h u + k v , v) =(per la (3))= det(u + h u , v) = det((1+h)u , v)

 

ma, per la (2): det((1+h)u , v) = (1+h) det(u , v) ,   per cui:

 

  det(u + u' , v) = (1+h) det(u , v) = det(u , v) + h det(u , v) = det(u , v) + det(h u , v)

 

siccome, per la (3), si ha:  det(h u , v) = det(h u + k v , v) = det(u' , v) , ricaviamo:

 

  det(u + u' , v) =  det(u , v) + det(u' , v).

 

 

 

       Calcolo di  det(u , v)

 

Per calcolare il daterminante di due vettori si possono utilizzare le proprietà (1)...(6).

 

Se  u = (a , b ) = a 1 + b  i      e     v =  (c , d ) = c 1 + d  i  , abbiamo :

 

det(u , v) = det(a 1 + b i  , c 1 + d i) = det(a 1 , c 1 + d i) + det(b i , c 1 + d i) =

det(a 1 , c 1) + det(a 1 , d i) + det(b i , c 1) + det(b i , d i) =

a c det(1 , 1) + a d det(1 , i) + b c det(i , 1) + b d det(i , i) =

a c 0 + a d 1 + b c (-1) + b d 0 = a d - b c 

 

 

      Metodo di Cramer (o "dei determinanti")

      per la soluzione di un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite

 

Supponiamo di voler trovare i valori di x e di y per cui si abbia contemporaneamente la validità delle seguenti due equazioni:

 

    3 x + 5 y = 4

 

    7 x + 2 y = 3

 

Posto:   u = (3 , 7) ,   v = (5 , 2)   e   w = (4 , 3) ,  tale sistema equivale alla uguaglianza vettoriale:

 

     x u  +  y v  =  w

 

Siccome abbiamo:

 

    det(w , v) = det(x u + y v , v) = det(x u , v) + det(y v , v) = x det(u , v) + 0 = x det(u , v)

 

    det(u , w) = det(u , x u + y v) = det(u , x u) + det(u , y v) = 0 + y det(u , v) = y det(u , v)

 

ricaviamo:

 

     x =  det(w , v) / det(u , v)

 

     y =  det(u , w) / det(u , v)