Somma di angoli

Somma di angoli : con c scegli α e con b scegli β .

la somma di α e β è per definizione la loro composizione :

( α + β ) ( x , y ) := β ( α( x , y ) ) = α ( β( x , y ) )

Nella figura il punto d può essere spostato col mouse e si ha :

( α + β ) ( d ) = β ( α( d ) ) = β ( n ) = m

ricordando che α(1) =(cos α , sin α) , β(1) = (cos β , sin β)
e le formule di rotazione , si ha : ( α + β )( 1 ) = β ( α( 1 ) ) =
β(cos α,sin α) = (cos α)(cos β,sin β) + (sin α)(-sin β,cos β)
Quindi : cos (α+β) = cos α · cos β - sin α · sin β
sin (α+β) = cos α · sin β + sin &alpha · cos β

circonferenza goniometrica

C(0,1) = { u ∈ C : u·ū = 1 }

C(0,1) = { (x,y) ∈ R² : x²+ y² = 1 }

funzione goniometrica

t --> P( t ) ∈ C(0,1) , con t ∈ R

proprietà di base della funzione goniometrica :

P( α + β ) = P( α ) · P( β )

P(π/2) = i = (0,1) = 1^⊥

P( 0 ) = 1 = (1,0) (derivabile dalla prima)

P( -α ) = P( α ) (derivabile da prima e terza)

definizione fondamentale :

P( α ) =: ( cos α , sin α ) = cos α + i sin α

prime proprietà derivate da quelle di base :

P(π)=P(π/2+π/2)=P(π/2)·P(π/2)=i²=-1

P(3π/2) = P( π + π/2) = (-1)·P(π/2) = -i

P(2π) = P(π+π) = P(π)·P(π) = (-1)(-1) = 1

P(t+2π) = P(t)·P(2π) = P(t)

angoli associati :

P(t+π) = P(t)·P(π) = P(t)·(-1) = -P(t)

P(t+π/2) = P(t)·P(π/2) = P(t)·i = P(t)^⊥

P(t-π/2) = P(t)·P(-π/2) = P(t)·ī = P(t)·(-i) = - P(t)^⊥

P(π-t) = P(π)·P(-t) = P(π)·P(t) = -P(t)

P(π/2-t) = P(π/2)·P(-t) = P(π/2)·P(t) = i·P(t) = (P(t))^⊥

P(2π-t) = P(2π)·P(-t) = P(2π)·P(t) = P(t)

P(-π/2-t) = P(-π/2)·P(-t) = (-i)·P(t) = - (P(t))^⊥

qui sotto, usa i punti b , c , d come "interruttori" :
prova a portare uno o più di questi punti sopra l'asse delle ascisse