Somma di angoli

Somma di angoli : con c scegli a e con b scegli b .

la somma di a e b è per definizione la loro composizione :

( a + b ) ( x , y ) := b ( a( x , y ) )

Nella figura il punto d può essere spostato col mouse e si ha :

( a + b ) ( d ) = b ( a( d ) ) = b ( n ) = m

ricordando che a(1) =(cos a , sin a) , b(1) =(cos b , sin b)

e le formule di rotazione, si ha : ( a + b )( 1 ) = b ( a( 1 ) ) =

b(cos a,sin a) = (cos a)(cos b,sin b) + (sin a)(-sin b,cos b)

Quindi : cos (a + b) = cos a · cos b - sin a · sin b

sin (a + b) = cos a · sin b + sin a · cos b

circonferenza goniometrica

C(0,1) = { uÎC : u·ū = 1 }

C(0,1) = { (x,y)ÎR² : x²+ y² = 1 }

t ® P( t ) Î C(0,1) , con tÎR

proprietà di base della funzione goniometrica

P( α + β ) = P( α ) · P( β )

P(π/2) = i = (0,1) = 1^{^}

P( 0 ) = 1 = (1,0) (derivabile dalla prima)

P( -α ) = P( α ) (derivabile da prima e terza)

definizione fondamentale

P( α ) = ( cos α , sin α ) = cos α + i sin α

prime proprietà derivate da quelle di base

P(π)=P(π/2+π/2)=P(π/2)·P(π/2)=i²=-1

P(3π/2) = P( π + π/2) = (-1)·P(π/2) = -i

P(2π) = P(π+π) = P(π)·P(π) = (-1)(-1) = 1

P(t+2π) = P(t)·P(2π) = P(t)

angoli associati

P(t+π) = P(t)·P(π) = P(t)·(-1) = -P(t)

P(t+π/2) = P(t)·P(π/2) = P(t)·i = P(t)^{^}

P(t-π/2)=P(t)·P(-π/2)=P(t)·ī=P(t)·(-i)= - P(t)^{^}

P(π-t) = P(π)·P(-t) = P(π)·P(t) = -P(t)

P(π/2-t)=P(π/2)·P(-t)=P(π/2)·P(t)=i·P(t)=(P(t))^{^}

P(2π-t) = P(2π)·P(-t) = P(2π)·P(t) = P(t)

P(-π/2-t)=P(-π/2)·P(-t)=(-i)·P(t)= - (P(t))^{^}

qui sotto, usa i punti b , c , d come "interruttori" :
prova a portare uno o più di questi punti sopra l'asse delle ascisse