Rotazioni   e   angoli

Rotazioni intorno all'origine 0 (angoli) : muovi c per scegliere l'angolo
una rotazione α intorno all'origine (angolo) porta 1 in α(1)=(a,b)=f
proprietà 1)     α( i ) = α( 0 , 1 ) = ( -b , a ) = g     (ortogonalità)
    [ ossia:     come   1 → f ,   così   ort(1) → ort(f) ]


proprietà 2)     α( d ) = α( x , y ) = α( x 1 + y i ) = x f + y g = n

                            (conservazione delle coordinate)    

    [ ossia:   α(d) ha rispetto a (f,g) le stesse coordinate che ha d rispetto a (1,i) ]

proprietà 3)     α( h ) = α( a , -b ) = 1       (rigidità)
    [ ossia:     come   1 → f ,   così   conj(f) → 1 ]

 

p r i m e    c o n s e g u e n z e
(x', y') = α(x,y) = x α(1) + y α(i) = x(a,b) + y(-b,a) = ( xa-yb , xb+ya ) (rotazione)
( 1 , 0 ) = α( a , -b ) = ( a2 + b2 , 0 ) ,   quindi a2 + b2 = 1 (relazione pitagorica)

cos α := a   (definizione di coseno)

sin α := b   (definizione di seno)

Γ := C1 := { (a,b) : a2 + b2 = 1 }       (circonferenza goniometrica)
 c = ( p , q ) = t f ,   f ∈ Γ ,   t ≥ 0    ⇒    t = | c | := √( p2 + q2 )      (modulo)
( 1 , m ) = | ( 1 , m ) | α(1)   ⇒   cos α ≠ 0 , m = tg α := sin α / cos α   (tangente)