coniugati

"L'importanza di esser coniugati"
metafrasi sinonomastica ametaforica delle trasformazioni piane (versione pdf)

Una meditazione sulla croce porta a individuare le seguenti due associazioni :

la , che associa ad ogni punto a del piano il suo 'coniugato' conj(a)

la , che porta a nel suo 'ortonormale' ort(a)

ogni a non nullo determina col suo ortonormale un 'sistema di riferimento'

i sistemi di riferimento ( S.R. ) ( a , ort(a) ) e ( b , ort(b) )

diciamo che c ha coordinate (x,y) rispetto al S.R. ( a , ort(a) ) se c = x a + y ort(a)

brevemente possiamo dire che x e y sono le coordinate di c rispetto ad a (o 'in' a).

un punto c con le sue coordinate rispetto al S.R. ( a , ort(a) )

e il punto m che ha rispetto a b le stesse coordinate che ha c rispetto ad a

diciamo che c e m sono omotetici (ossia hanno "uguale collocazione") nei due S.R.

oppure che al punto c corrisponde il punto m nella 'omotetia' che porta a in b

oppure, semplicemente, che c 'sta ad' a come m 'sta a' b ( c : a = m : b )

Notiamo che da c : a = d : a segue che c = d (per via delle uguali coordinate in a)

e che da c : a = d : b segue d : b = c : a . Tale osservazione non è banale in quanto
la scrittura x:y=z:w , detta proporzione , è convenzionale e non si riferisce né alla
relazione di uguaglianza né all'operazione di divisione, anzi potrebbe essere pure
indicata ad esempio con un'espressione enunciativa tipo: proporzione(x,y,z,w) .

Similmente : da c : a = d : b e d : b = c' : a' segue c : a = c' : a'
( e, naturalmente, si ha anche c : a = c : a )

il caso in cui a = 1 , ossia c : 1 = m : b ; in tal caso si pone m = b·c

Vedi qui per lo studio della 'moltiplicazione', ossia dell'operazione (b,c) -> m = b·c

Quindi la interconnessione fra proporzioni e moltiplicazioni è: c:1 = (b·c):b (b≠0)

Ne deduciamo: b/c : 1 = c·(b/c) : c = b : c , il che connette proporzioni e divisione

( sopra abbiamo usato il fatto che c·(b/c)=(b/c)·c=(b·(1/c))·c=b·((1/c)·c)=b·1=b )

A questo punto scatta la sinergia dei coniugati

1) I punti b e 1 sono equidistanti dall'origine 0 se b : 1 = 1 : conj(b)

ovvero b dista 1 dall'origine 0 quando si ha 1=conj(b)·b. Un tale b è detto unitario.

Generalizzando, se m è reale positivo (m>0) e b : m = m : conj(b), m è il di b

che si indica con |b|. Il punto (unitario) h tale che |b| : 1 = b : h è il di b.

Nota: se b è unitario, allora il suo inverso è conj(b), in quanto conj(b)·b = 1

se b non è nullo e v(b) è il suo versore, allora b=|b|·v(b) e 1/b=(1/|b|)·conj(v(b)).

2) La moltiplicazione per un punto b unitario porta 1 in b e il generico c in b·c

e la trasformazione c -> b·c è la rotazione intorno all'origine 0 che porta 1 in b.

3) Dato un punto a non nullo e un punto c per costruire il di c rispetto
alla retta ( asse ) congiungente 0 con a è il punto n tale che n : a = conj(c) : conj(a)

ma n:a=(n/a):1 e conj(c):conj(a)=[conj(c)/conj(a)]:1, quindi n/a=conj(c)/conj(a)

3*) Tramite le simmetrie assiali possiamo generare una

la circonferenza generata da c per simmetrizzazione assiali di c ha raggio 0_c .

2*) Tramite omotetie (moltiplicazioni) possiamo generare una spezzata a

questa è generata dalle potenze di un punto b e se b è unitario ha vertici unitari .

1*) Combiniamo simmetria assiale e omotetie: la spirale parte da un punto

qui è il simmetrico assiale di b che genera la spirale, pertanto b deve essere 1 .

POSTILLA

La relazione fra due coniugati che ha condotto a risultati fecondi non è sostituibile,
ad esempio, con la relazione fra due simmetrici rispetto all'asse di i .
Due coniugati, per quanto distanti, sono speculari rispetto all'asse dell' Uno ,
mentre l'altra relazione citata si basa su una specularità con asse ... immaginario .