Notazioni insiemistiche di base con esempi
applicativi: insiemi e loro unione,
intersezione, differenza; coppie ordinate, prodotto cartesiano (e sue
rappresentazioni), relazioni, funzioni e operazioni.
Tabelle, alberi e diagrammi funzionali. Il piano come ambiente intuitivo
utilizzabile per l’introduzione di numeri, quando si introducono un
punto O (origine o centro del piano) e un punto unità 1. L'asse
numerico reale R.
Uso di base di un software di geometria
dinamica, ad esempio
C.a.R.
("Compass and Ruler" = "Compasso e Righello") oppure
GeoGebra.
La calcolatrice grafica piana (PGC, "Plane Graphic Calculator") e la grafica a indirizzi parametrici (PUG, "Paramentrical Url Graphics").
Addizione con le regole (equivalenti) “del parallelogramma”
e “della concatenazione”
(ovvero “del triangolo”).
Opposto di un punto (numero) rispetto all’origine.
Proprietà di base (assiomi) dell’addizione e
dell’opposizione.
Costruzione intuitiva dell’insieme N dei
numeri naturali, dell’insieme Z dei numeri interi relativi.
Addizione e moltiplicazione in N e Z. Interpretazione della
moltiplicazione a coefficienti reali sul piano (regola dei triangoli
simili, o proporzionali, ovvero "regola di Talete").
Proprietà di base (assiomi) della moltiplicazione a
coefficienti reali.
Divisione di un segmento in n parti uguali con il metodo di
Talete e introduzione dell’insieme Q dei numeri razionali.
Addizione e moltiplicazione in Q. Divisione in Q.
Le regole del calcolo algebrico; monomi e polinomi.
Risoluzione di un'equazione di primo grado.
Il semiasse reale positivo R+ e le
quattro relazioni di disuguaglianza in R. Confronto di frazioni.
materiali per lo studio:
insiemi:
http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/insiemi/index.htm
numeri:
http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/numeri/index.htm
http://w3.romascuola.net/gspes/operazioni.html
http://w3.romascuola.net/gspes/materiali/numeri/_inizio.html
numeri e piano:
http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/2a.html
http://w3.romascuola.net/gspes/talete_moltiplicazione.html
http://w3.romascuola.net/gspes/talete_divisione.html
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/distributiv.html
http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/Calcolo alge/index.htm
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Piattaforma INDIRE-EdAserali
Notazioni insiemistiche per elencazione o per
proprietà caratteristica degli elementi. Simboli di appartenenza e non appartenenza.
Richiami sul calcolo negli insiemi N (numeri naturali = numeri interi non
negativi), Z (numeri interi relativi) e Q (numeri razionali).
Uso di base di un software di geometria dinamica, ad esempio
C.a.R.
("Compass and Ruler" = "Compasso e Righello") oppure
GeoGebra.
La calcolatrice grafica piana (PGC, "Plane Graphic Calculator") e la grafica a indirizzi parametrici (PUG, "Paramentrical Url Graphics").
Interpretazione geometrica
delle operazioni di addizione (regola del parallelogramma)
e moltiplicazione (regola dei triangoli simili, o di Talete).
Introduzione di una unità immaginaria e rappresentazione di punti come
numeri complessi. Riferimento cartesiano (0,1,i) e notazione cartesiana
tramite ascissa e ordinata.
La calcolatrice grafica piana
(PGC, "Plane Graphic Calculator").
Trasformazioni
isometriche di base nel piano cartesiano.
Le due simmetrie
assiali coordinate nel piano cartesiano:
P=(x,y) -> conj(P) = P- = (x,-y) (coniugazione)
P=(x,y) -> - conj(P) = - P- = (-x,y)
(coniugazione opposta, o anticoniugazione).
L’identità:
P=(x,y) -> P = (x,y)
e la simmetria centrale:
P=(x,y) ->
- P = (-x,-y) (opposizione).
Le simmetrie rispetto
alle bisettrici principale e secondaria:
P=(x,y)
-> inv(P) = (y,x)
(inversione delle coordinate)
P=(x,y)
-> - inv(P) = (-y,-x) (inversione delle
coordinate e opposizione, o anti-inversione).
Le rotazioni ortogonali
fondamentali:
P =
(x,y) -> P┴ =
(-y,x) (antioraria)
P = (x,y)
-> -P┴ = (y,-x)
(oraria).
Grafici di funzioni del tipo y=px (proporzionalità dirette, rette passanti per l’origine). Grafici di funzioni del tipo y=px+q (rette). Significato geometrico dei parametri p (pendenza) e q (quota).
Equazioni
di primo grado di tipo px+q=0.
Disequazioni di 1° grado e loro interpretazione geometrica nel piano cartesiano.
La funzione quadratica y=x2 (costruzione grafica
della relativa parabola).
La radice quadrata di 2 e i numeri
irrazionali.
Effetto dell’introduzione del parametro
p nelle funzioni quadratiche y=px2.
Traslazione verticale del grafico di y=px2
ed equazioni del tipo y=px2+q.
Traslazione orizzontale del grafico di y=px2
ed equazioni del tipo y=p(x-h)2.
Combinazione di traslazione orizzontale e di traslazione verticale e
parabole di equazione del tipo y=p(x-h)2 + q .
Definizione del vertice della parabola di equazione y=p(x-h)2+q
come punto V=(h,q).
Riduzione della generica funzione y= ax2+bx+c
alla forma y=p(x-h)2+q .
Deduzione delle relazioni (equazioni del vertice della parabola):
h=-b/2a , q= c - b2/4a .
Intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse.
Risoluzione dell’equazione di secondo grado a x 2
+ b x + c = 0, scrivendola nella forma p(x-h)2 + q = 0.
Formula risolutiva generale dell’equazione a x 2 + b x + c = 0.
Disequazioni di 2° grado studiate tramite parabola.
materiali per lo studio:
insiemi, numeri, operazioni:
http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/insiemi/index.htm
http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/numeri/index.htm
http://w3.romascuola.net/gspes/operazioni.html
numeri, piano, rette:
http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/2a.html
http://w3.romascuola.net/gspes/8iso.html
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/8-isometrie.html
http://edaserali.indire.it/scorm/upload/retta.zip_unzip/index.html
oppure: http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/retta_par/
http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/equazioni/index.htm
parabola ed equazioni di 2° grado:
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/parabole_e_traslazioni.html
http://edaserali.indire.it/scorm/upload/parabola.zip_unzip/index.html
http://edaserali.indire.it/scorm/upload/trinomio.zip_unzip/index.htm
oppure: http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/retta_par/
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Piattaforma INDIRE-EdAserali
Vettori nel piano e operazioni di addizione di
vettori (regola del parallelogramma) e di moltiplicazione di un numero
reale per un vettore. Uso di base di un software di
geometria dinamica, ad esempio
C.a.R.
("Compass and Ruler" = "Compasso e Righello") oppure
GeoGebra.
La calcolatrice grafica piana (PGC, "Plane Graphic Calculator") e la grafica a indirizzi parametrici (PUG, "Paramentrical Url Graphics").
Generazione del piano
cartesiano a partire da tre punti non allineati 0, 1, i
tramite le operazioni di addizione e moltiplicazione a
coefficienti reali.
Disposizione ortonormale antioraria della terna 0, 1,
i. Operatori
reali di base su numeri complessi (Re, Im). La calcolatrice
grafica piana (PGC, "Plane Graphic Calculator").
Equazione
parametrica di una retta passante per l'origine.
Funzioni lineari (rette passanti per l’origine, o anche
proporzionalità dirette).
Traslazioni e rette non passanti per l’origine. Equazione di
una retta in forma vettoriale e in forma di componenti scalari.
Equazioni delle rette in
forma cartesiana esplicita (o funzionale).
Parabole ed iperboli generate tramite moltiplicazione a
coefficienti
reali e addizione. Le funzioni potenza ad esponenti interi relativi.
Le otto isometrie di base: l’identità, l’opposizione, la
coniugazione, la coniugazione opposta, le ortogonalità antioraria ed
oraria, le simmetrie assiali rispetto alle due bisettrici dei quadranti
del piano cartesiano.
Moltiplicazione di due numeri complessi introdotta con l’uso
dell’ortogonale del moltiplicando:
a b = ( ax + ay i)
b = ( ax 1 + ay 1┴
) b = ax b + ay b┴.
Determinazione grafica del prodotto (concetti grafici di
roto-dilatazione,
roto-contrazione e rotazione) ed espressione algebrica del prodotto.
Numeri unitari e circonferenza goniometrica. Circonferenze,
modulo, versore, distanza. Angoli intesi come rotazioni. Funzioni
goniometriche seno, coseno e tangente.
materiali per lo studio:
http://w3.romascuola.net/gspes/c/
http://w3.romascuola.net/gspes/operazioni_grafiche.html
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/retta_param.html
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/retta_cartes.html
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/8_isometrie.html
http://w3.romascuola.net/gspes/simmetrie.html
http://w3.romascuola.net/gspes/modulo.html
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/prodotto_di_numeri_complessi.html
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/moltiplicazione_grafica.html
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Piattaforma INDIRE-EdAserali
Insiemi e relazioni. Univocità e funzioni.
Iniettività e invertibilità di una
funzione.
Uso di base di un software di geometria
dinamica, ad esempio
C.a.R.
("Compass and Ruler" = "Compasso e Righello") oppure
GeoGebra.
La calcolatrice grafica piana (PGC, "Plane Graphic Calculator") e la grafica a indirizzi parametrici (PUG, "Paramentrical Url Graphics").
Funzioni del tipo x n .
Funzioni pari e funzioni dispari. Simmetrie interne dei grafici di
funzioni. Simmetrie fra grafici di funzioni, in particolare fra
funzioni inverse.
Intervalli nell’insieme dei numeri reali: chiusi, aperti,
semichiusi (o semiaperti), limitati o
illimitati.
Restrizione di una funzione per ottenere l’iniettività.
La parabola e la radice quadrata. Le funzioni arcsin, arccos e arctg.
Composizione di funzioni e inversione di una funzione
composta.
Introduzione di esponenti non naturali nelle potenze.
Le funzioni potenza x -> xa e
le funzioni
esponenziali x -> ax .
Proprietà delle funzioni esponenziali, partendo dalla
proprietà di morfismo
additivo-moltiplicativo (ossia: alla somma degli argomenti corrisponde
il prodotto dei valori).
Simmetria fra i grafici
di ax
e (1/a)x .
Andamento di
una funzione esponenziale ax al variare del
parametro a>0 .
Determinazione di una funzione esponenziale a partire da una
retta passante per (0,1) cui essa deve essere tangente. La funzione
esponenziale naturale e il
numero e di
Nepero.
Inversione della funzione esponenziale in base a: il
logaritmo in base a; suo grafico e sue proprietà formali.
Cenno all’esponenziale naturale complessa e alla formula di
Eulero.
materiali per lo studio:
funzioni in generale:
http://www.lorenzoroi.net/prelievi/Insiemi.pdf (i
primi due capitoli)
funzioni pari:
http://www.uniurb.it/ripmat/mate/c/ci/ciab.html
funzioni dispari:
http://www.uniurb.it/ripmat/mate/c/ci/ciac.html
simmetria di funzioni inverse:
http://www.lorenzoroi.net/prelievi/Insiemi.pdf
(pag. 32
, formula 3.9 con il suo seguito nella stessa pagina)
vedi
anche: http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/8-isometrie.html
progressioni e funzioni esponenziali:
http://w3.romascuola.net/gspes/exp/
funzioni
logaritmiche:
http://w3.romascuola.net/gspes/log/
vedi anche: http://www.uniurb.it/ripmat/mate/c/ci/ciae.html
http://www.lorenzoroi.net/prelievi/Logaritmi.pdf
numero di Nepero:
http://w3.romascuola.net/gspes/e/
oppure:
http://w3.romascuola.net/gspes/e.zip
formula di Eulero:
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/eulero.html
arcsin, arccos, arctg:
http://www.lorenzoroi.net/prelievi/InverseGonio.pdf
(paragrafo
1.1 , da pag. 1 a pag. 8)
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Piattaforma INDIRE-EdAserali
Funzioni e loro dominio. Funzioni reali di una variabile. Funzioni reali lineari
di variabile reale e loro rappresentazione. Intervalli in R e topologia della retta reale.
La calcolatrice grafica piana (PGC, "Plane Graphic Calculator") e la grafica a indirizzi parametrici (PUG, "Paramentrical Url Graphics").
Modelli lineari ( y = a x ) e loro traslati ( y = a x + b ). Retta passante per due punti nel piano cartesiano.
Modelli quadratici ( y = a x2 ) e loro traslati ( y = a x2
+ b x + c ).
Determinazione della traslazione che trasforma y = a x2 in y = a x2 + b x + c .
Successioni ( funzioni con dominio N+) e loro andamento. Successioni convergenti, divergenti, oscillanti.
Numero di Nepero e numero "pi greco" ottenuti come limiti di successioni.
Concetto di limite per funzioni di una variabile reale e cenni al concetto di continuità di una funzione.
Velocità di crescita di una funzione. Approssimazione del
grafico di una funzione in un suo punto con la retta tangente (problema della
linearizzazione locale); il concetto di derivata, esaminato anche con
l’uso del computer.
Il concetto di differenziale per funzioni di una variabile reale:
approssimazione dell’incremento effettivo con l’incremento lineare.
Principali derivate (delle funzioni y = costante , y = xn
, y = ax , y = sin x , y = cos x) e formule di derivazione di
somme, prodotti, quozienti, composizioni di funzioni. Applicazioni di tali regole
alla determinazione delle derivate di funzioni definite a partire da funzioni
elementari, quali y = tg x = sin x / cos x.
Richiami delle regole di calcolo con i logaritmi. Derivazione dell'inversa di una funzione. Derivata di una funzione logaritmica.
Le funzioni goniometriche inverse arcsin, arccos, arctg e le loro derivate.
Studio di una funzione utilizzando il calcolo differenziale,
con applicazioni a semplici casi.
Limiti collegati al limite di Nepero.
Limite di sin x / x con x tendente a zero.
Cenni al concetto di serie (con applicazione ai numeri decimali periodici).
Il problema della misura dell’area sottesa dal grafico di una funzione
(ossia compresa fra questo e l’asse delle ascisse) e compresa fra rette
verticali di ascisse date.
Definizione dell’integrale definito di una funzione esteso ad
un intervallo [a,b], introdotto come applicazione dei concetti di
limite di una successione
e dell’operatore di sommatoria e con equisuddivisione dell’intervallo
di integrazione : scaloidi anticipato (o sinistro) e posticipato (o
destro) approssimanti. Estensione del processo di integrazione definita
al caso di suddivisione qualunque dell’intervallo.
Integrale definito di una somma di funzioni, del prodotto di
una funzione per un
numero (multiplo di una funzione). Scambio degli estremi di
integrazione. Suddivisione dell’intervallo di integrazione [a,b] in
unione di sottointervalli [a,c] e [c,b].
Teorema fondamentale del calcolo integrale e collegamento
dell’integrale definito con le primitive della funzione integranda.
Integrale indefinito di una funzione, ovvero insieme delle
primitive di questa.
Esame della motivazione e del significato geometrico della costante di
integrazione a meno della quale è individuata una primitiva.
Integrazione, definita e indefinita, per parti, per
sostituzione, per decomposizione
in somma della funzione integranda.
materiali per lo studio:
http://www.lorenzoroi.net/prelievi/Insiemi.pdf (i primi due capitoli)
http://w3.romascuola.net/gspes/materiali/funzioni.html
http://www.itchiavari.org/pdf/grafici_funzioni.pdf
http://www.lorenzoroi.net/prelievi/InverseGonio.pdf
http://www.ripmat.it/
http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_(matematica)
http://www.lorenzoroi.net/prelievi/Logaritmi.pdf
http://www.lorenzoroi.net/prelievi/Limiti.pdf
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/derivata.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Derivata
http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale
http://w3.romascuola.net/gspes/geogebra/campionamento_a_scala.html
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/area_con_segno.html
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Piattaforma INDIRE-EdAserali
Il linguaggio delle formule: simboli di variabili, costanti e operatori; proprietà di base (assiomi) dell’addizione e dell’opposizione e proprietà di base della moltiplicazione e dell'inversione; la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.
Diagrammi funzionali (o di "flusso di dati") e diagrammi strutturali (o "sintattici", anche detti "diagrammi ad albero" o "organigrammi").
L'interpretazione grafica delle formule: visualizzazione grafica, tramite punti e vettori, rette e parallelismo tra rette, delle operazioni algebriche (con verifica grafica della validità delle proprietà di base); regola del parallelogramma e regola dei triangoli simili (o proporzionali), o di Talete.
Costruzione intuitiva dell’insieme N dei numeri naturali, dell’insieme Z dei numeri interi relativi e dell'insieme Q dei numeri razionali, come sottoinsiemi dell'insieme R dei numeri reali (retta reale) generati dai numeri 0 e 1 tramite le operazioni di addizione, opposizione, inversione.
Le regole derivate (teoremi) del calcolo algebrico; monomi e polinomi.
Risoluzione di un'equazione di primo grado.
Il semiasse reale positivo R+ e le quattro relazioni di disuguaglianza in R. Confronto di frazioni.
Il piano cartesiano e le trasformazioni isometriche di base ottenute tramite simmetrie assiali rispetto agli assi coordinati e rispetto alle loro bisettrici. Ortogonalità.
Traslazioni nel piano cartesiano. Omotetie nel piano cartesiano.
Grafici di funzioni del tipo y=px (proporzionalità dirette, rette passanti per l’origine). Grafici di funzioni del tipo y=px+q (rette). Significato geometrico dei parametri p (pendenza) e q (quota).
Equazioni di primo grado di tipo px+q=0.
Disequazioni di 1° grado e loro interpretazione geometrica nel piano cartesiano.
La funzione quadratica y=x² (costruzione grafica della relativa parabola).
La radice quadrata di 2 e i numeri irrazionali.
Effetto dell’introduzione del parametro p nelle funzioni quadratiche y=px².
Traslazione verticale del grafico di y=px² ed equazioni del tipo y=px²+q.
Traslazione orizzontale del grafico di y=px² ed equazioni del tipo y=p(x-h)².
Combinazione di traslazione orizzontale e di traslazione verticale e parabole di equazione del tipo y=p(x-h)² + q .
Definizione del vertice della parabola di equazione y=p(x-h)²+q come punto V=(h,q).
Riduzione della generica funzione y= ax²+bx+c alla forma y=p(x-h)²+q .
Deduzione delle relazioni (equazioni del vertice della parabola):
h=-b/2a , q= c - b²/4a .
Intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse.
Risoluzione dell’equazione di secondo grado a x² + b x + c = 0, scrivendola nella forma p(x-h)² + q = 0.
Formula risolutiva generale dell’equazione a x² + b x + c = 0.
Disequazioni di 2° grado studiate tramite parabola.
Notazioni insiemistiche di base con esempi applicativi: insiemi, appartenenza, inclusione, unione, intersezione, differenza; coppie ordinate, prodotto cartesiano (e sue rappresentazioni), relazioni, funzioni e operazioni. Dominio e codominio (o immagine).
Tabelle, alberi e diagrammi funzionali nella rappresentazione di funzioni. Le rette e le parabole come funzioni di 1° e di 2° grado. L'iperbole equilatera e la funzione y=k/x. Concetto di asintoto verticale.
Rotazioni e circonferenza goniometrica. Circonferenze, modulo, versori, distanza. Angoli intesi come rotazioni. Funzioni goniometriche seno, coseno e tangente. Sinusoide, cosinusoide, tangentoide. Formule di base della goniometria e della trigonometria.
Iniettività e invertibilità di una funzione. Restrizione di una funzione per ottenere l’iniettività. L'inversione delle funzioni goniometriche. Le funzioni potenza e le funzioni radice. Funzioni pari e funzioni dispari. Simmetrie interne dei grafici di funzioni. Simmetrie fra grafici di funzioni, in particolare fra funzioni inverse.
Successioni e progressioni aritmetiche e geometriche. Le funzioni esponenziali e quelle logaritmiche. Andamento di una funzione (crescita, decrescita, costanza, periodicità).
Composizione di funzioni e inversione di una funzione composta.
Determinazione di una funzione esponenziale a partire da una retta passante per (0,1) cui essa deve essere tangente. La funzione esponenziale naturale e il numero di Nepero. Logaritmo naturale (o neperiano).
Intervalli nell’insieme dei numeri reali: chiusi, aperti, semichiusi (o semiaperti), limitati o illimitati.
Successioni convergenti, divergenti, oscillanti. Numero di Nepero e numero "pi greco" ottenuti come limiti di successioni.
Concetto di limite per funzioni di una variabile reale e cenni al concetto di continuità di una funzione. Limiti collegati al limite di Nepero.
Limite di sin x / x con x tendente a zero.
Velocità di crescita di una funzione. Approssimazione del grafico di una funzione in un suo punto con la retta tangente (problema della linearizzazione locale); il concetto di derivata, esaminato anche con l’uso del computer.
Il concetto di differenziale per funzioni di una variabile reale: approssimazione dell’incremento effettivo con l’incremento lineare. La derivazione grafica.
Principali derivate (delle funzioni y = costante , y = xn , y = ax , y = sin x , y = cos x) e formule di derivazione di somme, prodotti, quozienti, composizioni di funzioni. Applicazioni di tali regole alla determinazione delle derivate di funzioni definite a partire da funzioni elementari, quali y = tg x = sin x / cos x.
Derivazione dell'inversa di una funzione. Derivata di una funzione logaritmica.
Le funzioni goniometriche inverse arcsin, arccos, arctg e le loro derivate.
Studio di una funzione utilizzando il calcolo differenziale, con applicazioni a semplici casi.
L'antiderivazione grafica di una funzione costante a tratti (funzione a scala). Uguaglianza fra la variazione dell'antiderivata costruita e l'area del plurirettangolo corrispondente sotto la funzione da antiderivare (teorema fondamentale del calcolo in versione discreta). Determinazione dell'antiderivata grafica a meno di una costante arbitraria da scegliere per iniziare il processo grafico di antiderivazione.
Il problema della misura dell’area sottesa dal grafico di una funzione (ossia compresa fra questo e l’asse delle ascisse) e compresa fra rette verticali di ascisse date.
Definizione dell’integrale definito di una funzione esteso ad un intervallo [a,b], introdotto come applicazione dei concetti di limite di una successione e dell’operatore di sommatoria e con equisuddivisione dell’intervallo di integrazione : scaloidi anticipato (o sinistro) e posticipato (o destro) approssimanti. Estensione del processo di integrazione definita al caso di suddivisione qualunque dell’intervallo.
Integrale definito di una somma di funzioni, del prodotto di una funzione per un numero (multiplo di una funzione). Scambio degli estremi di integrazione. Suddivisione dell’intervallo di integrazione [a,b] in unione di sottointervalli [a,c] e [c,b].
Teorema fondamentale del calcolo integrale e collegamento dell’integrale definito con le primitive della funzione integranda.
Integrale indefinito di una funzione, ovvero insieme delle primitive di questa. Esame della motivazione e del significato geometrico della costante di integrazione a meno della quale è individuata una primitiva.
Integrazione per parti, per sostituzione, per decomposizione in somma della funzione integranda.