derivata di una funzione

Muovi il punto d sull'asse delle ascisse fino a ottenere un incremento dx  talmente piccolo che la retta mn diventi visivamente tangente al grafico (osserva che quando dx=0  i punti m e n coincidono e la retta mn non è più definita, per cui scompare). Poi fai scorrere il punto a sull'asse delle ascisse. Per modificare la funzione bisogna agire sulla casella f e, dopo aver aperto la finestra "Details",  sulle ordinate presenti nelle caselle m e n . Nella seguente figura è illustrato il procedimento di derivazione grafica, mediante il quale si passa dalla generica tangente al grafico f nel punto di ascissa variabile ( l'ascissa di a ) alla funzione derivata  f ' descritta dal punto h intersezione della retta verticale di ascissa pari a quella di  a  e dalla retta parallela alla suddetta tangente e passante per il punto di ascissa pari a quella di  a  diminuita di una unità  ( in tal modo l'ordinata di h risulta essere la pendenza della retta tangente al grafico ); al variare di a sull'asse delle ascisse il punto h genera il grafico della funzione derivata.

Nella seguente figura, al posto della retta tangente al grafico della funzione nel punto m, è riportata la retta a quella parallela e passante per l'origine (avente, al variare di a_x ,  pendenza pari alla derivata della funzione in a_x ), che è pertanto il grafico di una proporzionalità diretta;  tale proporzionalità diretta è detta  differenziale  calcolato in a_x  della funzione. Nella figura è sottolineato il fatto che il valore di tale differenziale in corrispondenza all'ascissa 1 è la derivata  in a_x  della funzione.

antiderivate  ( o  primitive ) di una funzione

Nella seguente figura viene illustrato il processo di  antiderivazione grafica ,  inverso di quello precedente di derivazione grafica. Si parte dalla funzione  g   (in rosso nella figura), che nel caso in esame è il seno (ma può essere modificata), e ci si pone il problema di costruire una funzione  f  la cui derivata sia la g data, ossia tale che in ogni punto a del grafico di f la tangente al grafico stesso ( ossia f ) abbia pendenza pari a g(a_x)  (che è il valore della g nell'ascissa a_x ). Per determinare a partire dal punto h = ( a_x , g(a_x) ) una retta di pendenza pari a g(a_x) = h_y ,  basta considerare la retta passante per  h  stesso e per il punto  ( a_x - 1 , 0 ). Tale retta (di colore viola nella figura) ha la pendenza richiesta ma passa per h. Possiamo prendere un punto qualunque e condurre per esso la parallela a tale retta e infatti, nella figura qui sotto, muovendo il punto a vediamo in  azzurro la retta passante per a e avente pendenza g(a_x)  . Tuttavia la traiettoria che il punto a traccia in questo nostro movimento non ha necessariamente tale retta come tangente nel punto a stesso, proprio in quanto siamo noi a modificare istante per istante la posizione di a indipendentemente dalla retta azzurra. Bisognerebbe partire da un punto a iniziale e muoversi da esso seguendo la retta azzurra, tracciando un piccolissimo tratto di tale retta, quindi muoversi da questa nuova posizione, in cui ci sarà un'altra retta direttrice, seguire per un ulteriore piccolissimo tratto tale nuova retta, e così via, in modo che in ogni posizione di a la retta resta visibilmente tangente alla traiettoria di a stesso. Pertanto il punto iniziale (ovvero la posizione iniziale di a) lo scegliamo noi, così come scegliamo di quanto procedere in orizzontale per ogni "piccolissimo" tratto (tale valore è d_x, ascissa del punto d), ma per il resto è la retta azzurra, quindi in definitiva  g(a_x) , che deve "muovere il passo". Nella figura tale passo è compiuto pigiando il pulsante Step (oppure, dopo aver cliccato inizialmente sul riquadro della figura, agendo sulla barra spaziatrice della tastiera; è possibile effettuare 100 passi in automatico digitando il tasto  > , ricordando che esso richiede il tasto "shift"). Ogni volta che si agisce sul pulsante Step (o sulla barra spaziatrice della tastiera) viene applicata al punto a la formula f , quindi aggiorna, nel caso della figura,  a con  f = a + ( d_x , sin(a_x) d_x ) muovendo a di un tratto della retta di pendenza sin(a_x) che in orizzontale corrisponde a un incremento  d_x . Da osservare che la funzione costruita in tal modo (il cui grafico è una spezzata, ossia una unione di segmenti adiacenti) approssima la primitiva esatta passante per il punto iniziale a (e per di più da a_x in poi soltanto, ma potremmo andare a ritroso cambiando il segno del passo d_x), tanto meglio quanto più piccolo è il valore del passo. Concludiamo osservando che il problema dell'antiderivazione ha più soluzioni, dal momento che per ogni scelta dell'ordinata del punto  a  c'è una funzione f passante per a che sia antiderivata  (detta anche primitiva) della funzione data g . Nella figura è preselezionata l'opzione Plot, che fa sì che i punti di output (quindi f e h) traccino le loro traiettorie, per cui alla fine del processo di costruzione dell'antiderivata passante per il punto iniziale scelto si hanno in verde la porzione di funzione g coinvolta e in blu la porzione costruita di antiderivata, in accordo con i colori della figura precedente, in cui la derivata è in verde e la funzione è in blu. Per pulire il grafico usare il pulsante Clear oppure il tasto c ,  il che deseleziona l'opzione Plot per cui tale opzione va riselezionata manualmente (ciò si può fare anche col tasto p ;  tale tasto agisce come un interruttore, ossia funziona anche per togliere l'opzione Plot se essa è già correntemente selezionata, mantenendo, a differenza del tasto c, il  plottaggio  precedente).

Notiamo (vedi la figura sottostante) che il prodotto  g(a_x) d_x = h_y d_x rappresenta sia l'incremento dell'ordinata nel passaggio dal punto a al punto f (e ciò vale in ogni posizione del punto a) sia l'area del rettangolo di base  d_x  e altezza  h_y  considerata col segno positivo o negativo di tale altezza stessa, rettangolo che possiamo realizzare proprio con il vertice in alto a sinistra coincidente con il punto h, quindi come prodotto di intervalli:  [ h_x , h_x + d_x ] × [ 0 , h_y ]. Tale uguaglianza fra un numero e un'area con segno corrisponde geometricamente al fatto che sono simili fra di loro i triangoli rettangoli (e quindi anche i rettangoli ottenuti dal loro raddoppiamento) con i cateti paralleli agli assi cartesiani e le ipotenuse costituite rispettivamente dal segmento  af e dal segmento congiungente h con ( h_x - 1 , 0 ) e al fatto che  h sta sopra o sotto il livello dell'asse delle ascisse esattamente quando la pendenza della retta azzurra af è positiva o negativa. Nella figura sottostante premi 6 volte il pulsante Step fino a che esso verrà visualizzato come "Step 6"(in alternativa, premi sei volte la barra spaziatrice della tastiera).

Riferendoci alla funzione seno (considerata nella figura), il punto a (nella figura si è definito g pari ad a in quanto la tracce vengono lasciate con l'opzione Plot solo dai punti di output, quale è g) traccia una spezzata con 6 lati e in contemporanea h traccia una spezzata di 6 lati con i vertici sul grafico della funzione seno (sinusoide). Indicando con a₀ = (u,v) la posizione iniziale di a (che può, come abbiamo detto sopra, essere scelta liberamente) e con  a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₅ , a₆  gli altri vertici della spezzata, si ha, per  n = 1 , ... , 6  :     a_n = a_n-1 + ( d_x , sin(ascissa(a_n-1)) d_x ). Pertanto: a₁ = a₀ + ( d_x , sin(ascissa(a₀)) d_x ) = (u + d_x , v + sin(u) d_x ),   a₂ = a₁ + ( d_x , sin(ascissa(a₁)) d_x ) = ( u + 2d_x , v + sin(u) d_x + sin(u+d_x) d_x ) , a₃ = a₂ + ( d_x , sin(ascissa(a₂)) d_x ) = ( u + 3d_x , v + sin(u) d_x + sin(u+d_x) d_x + sin(u+2d_x) d_x  ) , e così via fino ad avere a₆ = ( u + 6d_x , v + sin(u) d_x + sin(u+d_x) d_x + sin(u+2d_x) d_x  + ... + sin(u+5d_x) d_x ). Quindi ordinata(a₆)-ordinata(a₀) = sin(u) d_x + sin(u+d_x) d_x + sin(u+2d_x) d_x  + ... + sin(u+5d_x) d_x = [somma delle aree con segno di 5 rettangoli con basi sull'asse delle ascisse, tutte pari a d_x , considerate a partire dall'ascissa  u  una di seguito all'altra,  e ognuno con altezza (con segno) pari al valore del seno in corrispondenza all'ascissa iniziale della propria base] = [somma delle aree con segno comprese fra i gradini della seguente     (clicca anche in questa figura 6 volte su Step) e l'asse delle ascisse] . Prova con la seguente    a realizzare la situazione analoga con molti clic su Step (o una pressione prolungata sulla barra spaziatrice, dopo aver fatto clic col mouse sulla figura; dividendo  d_x  in un numero n di parti uguali e facendo tendere n all'infinito (e quindi  d_x  a zero) la spezzata rossa (realizzata ovviamente con un numero n-uplo di passi) tende alla primitiva del seno passante per il punto iniziale scelto (u,v), la scala tende alla funzione seno e l'area con segno fra la scala e l'asse delle ascisse tende all'area con segno fra la parte verde di sinusoide e l'asse delle ascisse e tale area, detta  integrale definito della funzione seno calcolato fra l'ascissa u e l'ascissa finale (ossia l'ascissa del punto a alla fine del processo), coincide con la differenza fra i valori della primitiva rossa ottenuta valutati nell'ascissa finale e nell'ascissa iniziale). Come già visto, vi sono infinite primitive della funzione data (in questo caso il seno) e il loro insieme è detto integrale indefinito della funzione data. Fissati due valori dell'ascissa, diciamo u e u',  a partire da ognuna di tali primitive (che si differenziano l'una dall'altra per una costante, ossia per una traslazione verticale) rimane costante la differenza fra il valore calcolato in u' e il valore calcolato in u ,  e tale differenza coincide con l'area con segno compresa fra l'asse delle ascisse e la porzione della funzione data (nell'esempio il seno) relativa all'intervallo fra l'ascissa u e l'ascissa u'.

Nella figura seguente, invece di partire dal passo per costruire la spezzata, si parte dal fissare prima (tramite i punti b e c) le ascisse iniziale  u = b_x  e finale  u' = c_x , e il valore  d_x  viene modificato in modo da ottenere una spezzata che finisca esattamente in un punto di ascissa u' (cioè in modo che  a_x  diventi esattamente  c_x  dopo un certo numero di passi). Inoltre, al posto delle due rette presenti nelle figure precedenti, è riportata passante per l'origine e avente, al variare di a_x  ,  pendenza pari a sin(a_x) e quindi pari a quella della retta tangente, nel punto di ascissa   a_x , al grafico della primitiva considerata (funzione cui si approssima la spezzata rossa quando d_x tende a 0); tale retta è il differenziale  di tale primitiva e di tutte le altre da questa differenti per traslazione verticale. Per avere un'approssimazione adeguata della primitiva risetta la figura aggiornando la presente pagina web e, prima di agire sul tasto Step o sulla barra spaziatrice della tastiera, porta d molto vicino all'origine (oppure apri la finestra Details e poni l'ascissa di d, attualmente fissata a 0.1, ad esempio pari a 0.01)