retta come grafico di funzione

In figura sono rappresentate la retta Ra + b = {t a + b : t in R} (in rosso) e la retta {(x,y) : y=mx+n} (in verde).
Puoi muovere col mouse i punti a e b per ottenere tutte le possibili rette generate parametricamente. Inoltre puoi muovere i cursori c e d per modificare m ed n e ottenere con equazione cartesiana tutte le rette non verticali.

Fissati i valori di m e di n (fissando una posizione per ognuno dei due cursori c e d e avendo cura di mantenere tali cursori sotto l'asse delle ascisse) e quindi la retta {(x,y) : y=mx+n} (in verde), muovi a e b in modo che la retta Ra+b (in rosso) coincida con la retta verde.
Nota che è più comodo portare prima il punto b sulla retta verde e successivamente agire su a per aggiustare la direzione. Nota anche che ci sono infinite maniere per ottenere la retta verde tramite modifiche di b e di a, in quanto b può essere spostato in qualunque posizione che sia sulla retta verde e successivamente la direzione rimanr inalterata se ad un certo a si sostituisce un suo qualunque multiplo (purché non nullo).
Portando c e/o d sopra l'asse delle ascisse viene automaticamente effettuata quella particolare scelta di b e di a corrispondente ai due seguenti criteri (o vincoli):
b ha ascissa 0, e quindi diventa (0,n);
a ha ascissa 1, e quindi diventa (1,m).
Continuerai a vedere dei punti a e b spostabili col mouse, ma non sono più attivi dopo che i cursori sono al di sopra dell'asse delle ascisse, in quanto adesso b=(0,n) e a=(1,m) non sono più indipendenti (e quindi modificabili a piacimento) ma dipendono da m e da n.

Adesso procedi inversamente: fissa a e b, quindi la retta rossa Ra+b, e cerca quali valori di m e di n portano la retta verde a coincidere con quella rossa. Muovi i cursori c e d in orizzontale rimanendo sotto l'asse delle ascisse, altrimenti i valori di a e di b, come detto, saranno invalidati (adesso si tratta di esprimere m ed n in funzione di a e di b, non il viceversa, come prima).
Nota che anche qui conviene agire prima sul parametro di "quota", che è n e successivamente su quello di direzione, che è m (che proprio per tale motivo è detto "pendenza").

Stavolta n dovrà essere scelto in modo tale che la retta verde (mobile) intersechi la retta rossa (fissa) sull'asse delle ordinate, quindi il punto (0,n), che è sulla retta verde {(x,y) : y=mx+n} (ed è ottenuto prendendo x=0), dovrà coincidere con quel punto   k a + b della retta rossa che ha ascissa 0, ossia ka_x+b_x=0, da cui k=-b_x/a_x , quindi si deve avere:
                                      n = ka_y+b_y=(-b_x/a_x)a_y+ b_y = (-a_y/a_x)b_x+ b_y .
Per quanto riguarda m, bisogna notare che al suo variare la retta verde passa sempre per il punto (0,n) e che per determinare m in modo che tale retta verde coincida con quella rossa bisogna fare in modo che la retta verde abbia un altro punto, oltre a (0,n), in comune con quella rossa, ad esempio che il punto (1,m+n), che è sulla retta verde {(x,y) : y=mx+n} (ed è ottenuto prendendo x=1) sia ottenibile come punto k'a+b della retta rossa Ra+b, per la qual cosa si deve avere:
                                       1 = k'a_x+b_x        e               m + n = k' a_y+ b_y ,
quindi:
                                       k' = (1-b_x)/a_x      e       m + (-a_y/a_x)b_x+ b_y= k'a_y+b_y
e pertanto:
                                       m = k'a_y- (-a_y/a_x)b_x= k'a_y+ (a_y/a_x)b_x = ((1-b_x)/a_x)a_y+ (a_y/a_x)b_x= (a_y/a_x)1 - (a_y/a_x)b_x+ (a_y/a_x)b_x= a_y/a_x.

Osserva, per ultima cosa, che nel determinare m ed n in funzione di a e di b si deve necessariamente avere che l'ascissa a_x deve essere non nulla, altrimenti i calcoli appena svolti non sono possibili. Ciò corrisponde al fatto che la retta rossa, da ottenere tramite scelta dei valori di m e di n come generata con equazione cartesiana, non può essere verticale, il che corrisponde a dover scegliere il punto a fuori dall'asse delle ordinate.