Parabole e traslazioni
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| all'inizio viene evidenziata la parabola 0.5(x-1)2 + 2 |
| il "coefficiente di forma" della parabola è 1/2=0.5 , indichiamolo con f |
| il "vertice" della parabola è (1 , 2) , indichiamolo con d = (h , k) = h+ki = h+m =1+2i |
| muovendo in orizzontale col mouse il punto di input a modifichi f = ax |
| muovendo col mouse il punto di input d modifichi il vertice d = (dx , dy) |
| la parabola di equazione y = f (x-h)2 è traslata di h della parabola y = f x2 |
| h = dx è detto "spostamento orizzontale" (infatti è un numero reale) |
| per traslare la parabola y=f(x-h)2 in verticale di k si aggiunge ki=m a ogni punto |
| e così si ottiene l'equazione y = f (x-h)2 + k , parabola y = f x2 traslata di d=(h,k). |
| Supponiamo adesso di avere da graficare la equazione y = a x 2 + b x + c |
| determiniamo f , h e k in modo che a x 2 + b x + c = f (x-h)2 + k |
| si ha : a x 2 + b x + c = f (x-h)2 + k = f x 2 - 2 f h x + f h 2 + k |
| l'uguaglianza si realizza quando : a = f , b = - 2 f h , c = f h 2 + k |
| ossia : b = - 2 a h ( quindi h = -b/2a ) e c = a h 2 + k ( quindi k = c- a h 2 ) |
| troviamo quindi : f = a , h = -b/2a , k = c- a h 2 = c - a (-b/2a)2 = c - b2 / 4a |
| quindi il vertice è d = (h , k) = ( -b / 2a , c - b2 / 4a ) (coordinate del vertice) |
| pertanto y=ax2+bx+c ha per grafico la parabola di forma y=ax2 ma con vertice d |
| ( nota che il parametro a dell'equazione è solo l'ascissa del punto a della figura ) |
| se vogliamo risolvere l'equazione ax2+bx+c=0 , scriviamola come f (x-h)2 + k = 0 |
| ricaviamo (x-h)2 = -k/f quindi x-h = ±Ö(-k/f), ossia x = h ±Ö(-k/f) |
| esprimendo f, h, k tramite a, b, c otteniamo la formula risolutiva x=(-b±Ö(b2-4ac))/2a |
| di solito si pone D = b2-4ac (detto "delta" o "discriminante" dell'equazione di 2° grado) |
| Riassumendo: l'equazione a x 2 + b x + c = 0 ha soluzioni x = ( -b ± ÖD ) / 2a |