Angoli e loro seno e coseno: l'algebra angolare

Dati due vettori non nulli a e b diciamo che la coppia ordinata (a , b) "definisce" un angolo orientato a^b. Se h e k sono numeri positivi qualunque, allora la coppia (h·a , k·b) definisce lo stesso angolo orientato a^b.
      Quindi: h>0 , k>0 ⇒ (h·a)^(k·b) = a^b.
Ogni vettore non nullo ha un suo "versore", che è quel vettore, indicato come vers(a), ottenuto da a dividendolo per la lunghezza di a: vers(a) = a/|a|. Il versore vers(a) ha lunghezza 1, e quindi, considerato come punto (ogni vettore può essere visualizzato come il punto avente le stesse componenti del vettore), esso appartiene alla circonferenza di centro 0 e passante per 1 (ci riferiamo a vettori nel piano):
      vers(a) ∈ C_0,1 = { (x,y) : x² + y² = 1 }.
Tale circonferenza è detta "circonferenza unitaria" (riferendosi al fatto che è costituita da punti distanti 1 dal centro) oppure "circonferenza goniometrica" (ossia utilizzabile per la misurazione degli angoli) e i suoi punti sono detti "unitari".
Fra le coppie ordinate di vettori che definiscono a^b c'è la coppia di versori (vers(a) , vers(b)):
      vers(a)^vers(b) = a^b.
Perciò ogni angolo orientato è individuato da una coppia ordinata di punti della circonferenza C_0,1.
In particolare fra tali coppie ordinate di punti ci sono quelle il cui primo elemento è il punto 1, che è detto "punto origine della circonferenza goniometrica".
Possiamo associare a un qualunque angolo a^b, con a e b appartenenti a C_0,1, un angolo del tipo 1^c, con c appartenente a C_0,1, con il seguente criterio:
      "le componenti che ha c rispetto a 1 sono quelle che ha b rispetto ad a"
Ciò significa che le coordinate che ha c rispetto al riferimento costituito da 1 e da i=1^⊥ sono le stesse che ha b rispetto al riferimento costituito da a e da a^⊥=(-a_y , a_x). Pertanto si tratta di determinare c_x e c_y in modo che:
      b = c_x a + c_y a^⊥ ossia: (b_x , b_y) = c_x (a_x , a_y) + c_y (-a_y , a_x),
ovvero in modo che sia verificato il sistema:
      c_x a_x - c_y a_y = b_x
      c_x a_y + c_y a_x = b_y
che per la regola di Cramer ha soluzione (tenendo presente che a_x² + a_y² = 1, visto che a ∈ C_0,1):
      c_x = a_x b_x + a_y b_y
      c_y = a_x b_y - a_y b_x.
Considereremo la coppia ordinata (1 , c) come coppia ordinata che definisce anch'essa lo stesso angolo orientato definito dalla coppia ordinata (a , b). Pertanto due angoli a^b e p^q (dove a, b, p, q sono tutti unitari) sono uguali se le coppie ordinate (a,b) e (p,q) individuano lo stesso c nel modo sudetto (quindi se b ha rispetto ad a le stesse componenti che ha q rispetto a p). Indicando con γ tale angolo 1^c = a^b, le due coordinate di c sono dette rispettivamente "coseno" e "seno" dell'angolo γ:
      cos γ = c_x
      sin γ = c_y
Pertanto un angolo è pienamente determinato dalla coppia del suo coseno e seno.
Ci proponiamo di definire la somma di due angoli in modo che valga la seguente formula:
      u^v + v^w = u^w.
In tal modo per i punti a e b considerati prima si ha 1^a + a^b = 1^b e questo giustifica la scrittura: a^b = 1^b - 1^a e ponendo α = 1^a e β = 1^b abbiamo una nuova versione delle formule scritte sopra:
      cos( β - α ) = cos β cos α + sin β sin α
      sin( β - α ) = sin β cos α - cos β sin α.
(formule di sottrazione per coseno e seno)
Inoltre per una tale operazione di addizione si ha che l'angolo 1^1=a^a=b^b, che indicheremo con Ô o semplicmente con 0, è elemento neutro per tale addizione: Ô + a^b = a^a + a^b = a^b, così come anche: a^b + Ô = a^b + b^b = a^b. Inoltre, siccome a^b + b^a = a^a =Ô e b^a + a^b = b^b = Ô , si ha b^a è l'opposto di a^b, opposto che indichiamo con la usuale notazione - a^b.
Per determinare d in modo tale che δ = 1^d = b^a = - a^b = - γ basta scambiare a con b nelle formule che prima davano c:
      d_x = b_x a_x + b_y a_y = c_x
      d_y = b_x a_y - b_y a_x = - c_y
per cui d è il "coniugato" di c, ossia d = c = ( c_x , - c_y ) e otteniamo:
      cos( - γ ) = cos( - a^b ) = cos b^a = cos 1^d = cos δ = d_x = c_x = cos γ
      sin( - γ ) = sin( - a^b ) = sin b^a = sin 1^d = sin δ = d_y = - c_y = - sin γ
(formule di opposizione).
La definizione della suddetta operazione di addizione si realizza partendo da due angoli u^v e u'^v' (supponiamo che tutti gli elementi con cui abbiamo a che fare siano punti unitari), riportandoli entrambi partire da 1, quindi cercando (tramite il procedimento su esposto) il punto a tale che u^v = 1^a = α e il punto b tale che u'^v' = 1^b = β, e quindi determinando il punto w che ha rispetto ad a le componenti che b ha rispetto ad 1 (ovvero le coordinate di b). L'angolo ω = 1^w è definito come somma di α e β, ossia ω = α + β.
Quindi: w = b_x a + b_y a^⊥ = b_x (a_x , a_y) + b_y (-a_y , a_x) = ( b_x a_x - b_y a_y , b_x a_y + b_y a_x ).
Pertanto, in termini di coseno e seno, abbiamo:
      cos ω = cos( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β
      sin ω = sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
(formule di addizione per coseno e seno). [figura]
Osserviamo come tali formule coincidono con quelle che derivano dalle formule di sottrazione utilizzando le formule di opposizione:
      cos( β + α ) = cos β cos( - α ) + sin β sin( - α ) = cos β cos α - sin β sin α
      sin( β + α ) = sin β cos( - α ) - cos β sin ( - α ) = sin β cos α + cos β sin α.