Sia f una funzione definita su tutti i numeri razionali e siano h e k due di tali numeri

si dice "incremento per rapporto" (o semplicemente "rapporto") della variabile dipendente y=f(x) da x = h a x = k il quoziente f(k)/f(h) , mentre k-h è detto incremento (o "differenza", o ancora "incremento per differenza") della variabile indipendente x nel passaggio da x=h a x=k

la funzione f è detta "a rapporti esponenziali" se a incrementi uguali della variabile indipendente corrispondono rapporti uguali della variabile dipendente, ossia se il rapporto della variabile dipendente è lo stesso in corrispondenza di due incrementi uguali della variabile indipendente. Supponiamo f(x)¹0, per ogni valore di x, in modo da poter usare f(x) al denominatore .

in formula : f(x+p) / f(x) = f(x'+p) / f(x') , per ogni scelta di x , x' , p ; gli incrementi della variabile indipendente da x a x+p e da x' a x'+p sono uguali a p ; un modo alternativo di esprimere questa formula è l'affermazione che l'espressione f(x+p) / f(x) dipende da p e non da x ossia scrivere l'uguaglianza : f(x+p) / f(x) = g(p) , dove g(p) è una funzione della variabile "incrementale" p (la funzione g è detta "funzione dei rapporti" ricavata da f con valore iniziale x dato alla variabile indipendente, oppure semplicemente " funzione rapporto di  f  in x " ).  Una prima conseguenza è che :   f(x) / f(x/2)  =  f(x/2)/f(0), ossia f(x)f(0)=( f(x/2) )² , per cui f(x)f(0)>0, ossia f(x) mantiene sempre lo stesso segno di f(0).   Una seconda conseguenza riguarda la funzione  g :      g( p+p' )  =  f(p+p') / f(0) = (f(p+p') / f(p)) (f(p) / f(0)) = g(p')g(p) = g(p)g(p'), cioè la funzione g porta somme in prodotti.

proveremo che per ogni numero intero positivo x si ha: f(x) = b a ^x , con a = f(1) / f(0) e b = f(0); inoltre estenderemo la definizione di potenza al caso di esponente razionale qualunque proprio in modo cha tale formula valga per ogni x razionale (ossia della forma m/n con m intero ed n intero positivo)

agli incrementi di 1 sulle ascisse corrisponde sempre lo stesso rapporto  r  sulle ordinate;   in formule :    f(1) / f(0) = r = a (ricordiamo che abbiamo posto a=f(1)/f(0) ) , f(2) / f(1) = r , ... , f(m) / f(m-1) = r , ecc ...; quindi: f(1) = f(0)a = ba ( ricordando che abbiamo posto b=f(0) ) , f(2) = f(1)r = f(1)a = ba² , ... , f(m) = f(m-1)r = f(m-1)a = b a^m-1 a = b a^m , ecc... ; quindi per ogni x intero positivo vale l'uguaglianza f(x) = b a ^x ; essa vale anche per x = 0 , purché si definisca a ⁰ in modo che valga l'uguaglianza f(0) = b a ⁰, ossia in modo che b = b a ⁰ , ovvero a ⁰ = 1 .

dividiamo l'intervallo di base fra x = 0 e x = 1 in n parti uguali, realizzando n incrementi ognuno di 1/n a partire da x = 0, cui corrispondono altrettanti rapporti della variabile dipendente tutti uguali fra di loro (clicca sulla figura qui sotto e poi premi la barra spaziatrice tante volte fino a quando non hai ottenuto il valore desiderato di n (che all'inizio è pari a 1); per tornare allo stato iniziale digita la lettera c ( = "clear"), inoltre per spostare la figura usa il tasto destro del mouse ; agendo sui punti a = f(1) / f(0) e b = f(0) si modifica la funzione f ; muovendo d in orizzontale (oppure agendo sulle frecce di spostamento laterale dalla tastiera) si sposta il punto iniziale h dell'incremento p = k-h = 1/n ). Infine coi tasti + e - si agisce sulla scala della intera figura.

agli incrementi di 1/n sulle ascisse corrisponde sempre lo stesso rapporto s sulle ordinate    

in formule : f(1/n) / f(0) = s , f(2/n) / f(1/n) = s , ... , f(1) / f(1-1/n) = s , ... , f(m/n) / f(m/n - 1/n) = s , ...

moltiplicando membro a membro le prime n (corrispondenti alla suddivisione in figura) di tali uguaglianze, e semplificando i termini inversi presenti nel primo di tali prodotti otteniamo: f(1) / f(0) = sⁿ , ossia a=sⁿ (ricordiamo che abbiamo posto a=f(1)/f(0) ) ; siccome f(x)f(0)>0 per ogni x, si ha a = f(1)/f(0)>0 e s=f(1/n)/f(0)>0. Pertanto s è la radice positiva di indice n del numero positivo a.

dalle precedenti uguaglianze, usando dalla seconda in poi l'uguaglianza immediatamente precedente e ricordando che abbiamo posto b=f(0), otteniamo: f(1/n) = f(0)s = bs , f(2/n) = f(1/n)s = bss = bs² , ... , f(1) = f(1-1/n)s = bsⁿ , ... , f(m/n) = f( (m-1)/n )s = b s^m-1 s = b s^m . Se definiamo a^m/n = s^m , ossia la potenza di esponente m della radice positiva di indice n di a (con m numero intero positivo), possiamo scrivere l'uguaglianza per ogni x=m/n :    f(x) = f(m/n) = b s^m = b a^m/n = b a^x . Come abbiamo visto questa uguaglianza vale anche per x=0, quindi l'abbiamo provata per ogni valore di x razionale non negativo. Notiamo che da tale formula segue che f(x) ha sempre lo stesso segno di b, in quanto a^x >0

se -x è il numero razionale negativo opposto a quello generico positivo per cui abbiamo visto che vale l'uguaglianza f(x) = b a^x , per la proprietà della uguaglianza dei rapporti in corrispondenza a incrementi uguali si ha: f(0)/f(-x) = f(x)/f(0) , quindi f(-x) = f(0) f(0) / f(x)= b² / f(x) = b²/(b a^x) = b/a^x = b (1/a^x) , ossia continua a valere la espressione f(x)=b a^x anche con -x al posto di x purché si definisca a^-x =1/a^x .

la dicitura "a rapporti esponenziali" trae origine dal fatto che, indipendentemente da quale sia l'ascissa x scelta come iniziale per l'incremento della variabile indipendente, si ha: g(p)=f(x+p)/f(x) = (b a^x+p)/(b a^x) = (a^x+p)/(a^x )= (a^x a^p)/(a^x ) = a^p , ossia la funzione rapporto della f in x associa ad ogni p la potenza di base a ed esponente p stesso; tale funzione è detta "esponenziale in base a" (osserviamo che la base di g è la stessa per tutti i valori iniziali x della variabile indipendente)

Il punto focale per la caratterizzazione di una funzione esponenziale (ossia di una funzione f, a rapporti esponenziali, con f(0)=1), non importa che sia crescente o decrescente, è che in intervalli di ascissa di ampiezze uguali, diciamo in intervalli [x , x+Δx] e [x' , x'+Δx] , si modificano i valori della funzione secondo "rapporti" uguali, ovvero f(x+Δx)/f(x) = f(x'+Δx)/f(x'), mentre per una funzione lineare (del tipo f(x)=kx) o per una funzione a incrementi lineari (del tipo f(x)=kx+h) si ha che sono uguali non i rapporti, bensì le differenze, ovvero: f(x+Δx)-f(x) = f(x'+Δx)-f(x').
Pertanto dalla uguaglianza: f(x+Δx)/f(x) = f(x'+Δx)/f(x') deriva:
[f(x+Δx)-f(x)]/f(x) = f(x+Δx)/f(x) - 1 = f(x'+Δx)/f(x') = [f(x'+Δx)-f(x')]/f(x') e quindi (dividendo il primo e l'ultimo rapporto per Δx): [f(x+Δx)-f(x)]/[Δx f(x)] = [f(x'+Δx)-f(x')]/[Δx f(x')], per cui, facendo il limite per Δx che tende a 0, si ha: f '(x)/f(x) = f '(x')/f(x'), ossia sono uguali i rapporti tra velocità è valore della funzione, ossia il rapporto f'(x)/f(x) non dipende da quale x si è scelto. Questo comporta in particolare che f '(x)/f(x) = f '(0)/f(0) , e quindi:
f '(x) = f(x) f '(0)/f(0). Ma f(0)=1 e f '(0)=ln(a) [ln(a) è la velocità in x=0 di f(x), ossia è f '(0)], per cui si ha: f '(x) = f(x) f '(0) = f(x) ln(a).
Pertanto, dal fatto che: "in intervalli di tempo di ampiezze uguali si hanno rapporti dei valori della funzione uguali" deriva il fatto che: "la velocità di crescita della funzione è proporzionale al valore della funzione".