il morfismo additivo-moltiplicativo esponenziale

In figura   a ,  b   e   c    possono essere mossi col mouse

La funzione rappresentata in figura è f(x)=a^x , con a>0 ;
illustriamo geometricamente la proprietà  f(b+c) = f(b)·f(c),
ossia:     a^b+c = a^b · a^c  .
Si riporta l'ordinata di  h=(b,f(b)) parallelamente all'asse delle ascisse
fino ad incontrare la retta verticale  x=1. Si ottiene (1,f(b)), e per tale
punto si conduce la retta passante per l'origine, di equazione y=f(b)·x
D'altra parte si riporta il punto k=(c,f(c)) sull'asse delle ordinate, ottenendo
il punto (0,f(c)) e si riporta questo sul punto (f(c),0) dell'asse delle ascisse
 tramite la retta parallela al segmento congiungente (1,0) con (0,1).
Dal punto (f(c),0) trovato si sale in verticale fino ad incontrare la retta
per l'origine determinata prima nel punto  (f(c),f(b)·f(c)) .
Infine si riporta quest'ultimo punto all'ascissa n=b+c, determinando così il
punto m=(n,f(b)·f(c))=(b+c,f(b)·f(c))=(b+c,f(b+c)), che sta su  f .

Tale costruzione nel caso  b=1 permette di costruire f(x) con x=0,1,2,3,...

clicca sulla figura e poi premi più volte la barra spaziatrice
( premi il tasto  c  per ritornare al punto iniziale )

Si parte da  x=0 ,  k=(x,f(x))=(0,f(0))=(0,1) e  m=(x+1,f(x+1))=(1,f(1))=(1,a)=h
e ad ogni pressione della barra spaziatrice si passa  da  x  a  n=x+1 ;
  dopo la prima pressione si ha:  k=(1,f(1))=h  e  m=(2,f(2))=(2,f(1)²);
dopo la seconda:  k=(2,f(2))  e  m=(3,f(3))=(3,f(2)f(1))=(3,f(1)³), ecc...

Spostando il punto  d  fino a dargli ascissa, ad esempio, 2, si passa ad
avanzamenti non più di 1, bensì di 1/2, dividendo quindi l'asse delle ascisse
in tratti di 1/2 e partendo da  h=(1/2,f(1/2))=(1/2,a^1/2).

Spostando il punto  d  fino a dargli ascissa, ad esempio, 3, si passa ad
avanzamenti non più di 1, bensì di 1/3, dividendo quindi l'asse delle ascisse
in tratti di 1/3 e partendo da h=(1/3,f(1/3))=(1/3,a^1/3).

e così via ...  (quindi  d  determina in quante parti dividere l'unità)

Un altro procedimento per approssimare una funzione esponenziale
tramite l'uso di rette parallele è dato   qui

esponenziale di un prodotto :     a^kx = (a^k)^x

 La curva blu è la funzione esponenziale in base  a , quindi  f : x -> a^x ,  ossia  f = {(x,y) :  y=a^x }, mentre la curva rossa è la funzione  g  ottenuta per stiramento orizzontale di fattore  c  , ossia l'ascissa di ogni coppia costituente  f  è moltiplicata per il fattore  c ,  per cui: 
g =  {(cx,y) :  y=a^x } = {(x',y) :  y=a^x'/c }, ossia, ponendo  k=1/c,   g : x -> a^kx .
Nella figura l'ascissa variabile  x  è l'ascissa del punto d (mobile col mouse) e  m=(x,g(x))  e  h=(kx,f(kx)).
 Quando  x=1  si ha  m=(1,a^k)  e   h=(k,f(k))=(k,a^k) . Si pone il problema: la funzione  g , che passa per (0,1) e per (1,a^k), è l'esponenziale in base a^k ?
 La risposta positiva, che equivale a dire che  g(x)=(a^k)^x , ossia equivale all'uguaglianza (scritta nel titolo)  a^kx=(a^k)^x , è mostrabile in figura portando il punto b sull'asse delle ordinate (o anche leggermente alla sua destra), il che fa trasformare la curva blu nella funzione esponenziale 
x -> b^x ,  e portando  b  a coincidere con a^k  (che è l'ordinata di  m  o di  h  quando  d  ha ascissa 1).