la moltiplicazione a coefficienti reali

• graficamente la moltiplicazione a coefficienti reali viene realizzata tramite la regola delle parallele di Talete:
  il segmento congiungente x con xv è parallelo al segmento congiungente 1 con v
  
    Osserviamo esplicitamente, come nel caso della precedente "regola del parallelogramma" per l'addizione, che si tratta di una regola "grafica" (che quindi rientra nell'ambito pratico del "disegno"), in quanto riguarda il modello concreto, non la teoria matematica che lo descrive
   
• matematicamente, quindi "formalmente", definiamo la moltiplicazione a coefficienti reali nel modo seguente:
  
    la moltiplicazione a coefficienti reali (detta anche, per un motivo che sarà chiaro in seguito, moltiplicazione lineare) è un'operazione da RxC a C, che porta R⁺ x R⁺ in R⁺ (ossia: il prodotto di numeri positivi è un numero positivo) e che gode delle seguenti 4 proprietà (assiomi della moltiplicazione a coefficienti reali, o assiomi moltiplicativi):
  (vai col puntatore del mouse sulle singole caselle e clicca sulle parole sottolineate dei testi che appaiono)

• addizione e moltiplicazione lineare vengono usate insieme per costruire espressioni dette combinazioni lineari: esse sono tutte le somme di prodotti, del tipo xv + yw

• a partire da questi quattro assiomi si possono dimostrare vari teoremi sulla moltiplicazione a coefficienti reali: propriètà di assorbimento dello zero, associazione del segno meno, sottomultipli ottenuti come prodotto, ecc.
   
• la moltiplicazione in R: quando v appartiene all'asse reale, xv diventa ovviamente il prodotto fra due numeri reali; continua a valere la regola grafica di Talete, ma usando un punto fuori di R come ponte per il trasporto parallelo.
  
  La moltiplicazione in R ha specifiche proprietà (deducibili dai quattro assiomi sui numeri reali):

• monotonicità: se   x > 0   e   y < y', allora   xy < xy' (segue subito dalla distributibità a sinistra e dal fatto che la moltiplicazione porta fattori positivi in un prodotto positivo)
• archimedeità: dati due numeri reali positivi   r  e  x,  esiste un numero naturale n tale che   x < nr 📖
• commutatività della moltiplicazione in R: xy = yx   ( visualizzazione grafica )
• invertibilità della moltiplicazione in   R^* = R - {0}: per ogni x numero reale non nullo esiste un numero reale non nullo, indicato con 1/x, tale che x(1/x) = 1. Il numero 1/x è detto inverso (o reciproco) di x.
  A questo punto, definendo y/x := (1/x)y (rapporto fra y e x), si ha: x(y/x)=x((1/x)y)=(x(1/x))y=1y=y.
    ( visualizzazioni grafiche e applicazioni grafiche )