Approfondimento (avanzato):   (A1):  il teorema di Archimede per i numeri reali

 enunciato :  dati due numeri reali positivi   r  e  x,  esiste un numero intero positivo n tale che   x < nr

una maniera più espressiva di enunciare questo teorema è la seguente :  dato un numero reale positivo r, comunque piccolo, e dato un numero reale positivo x, comunque grande, è possibile superare x sommando un opportuno numero di volte r a se stesso  ( ossia superare x con un multiplo di r )

definiamo "archimedeo rispetto ad r" ( o, più brevemente, r-archimedeo)  un numero reale positivo x  superato da un multiplo di r, ossia un numero x tale che esista un intero positivo n tale che  x < n r

i multipli nr, con n interi positivi,   sono certamente r-archimedei, in quanto ogni x=nr è superato dal "successivo" multiplo  nr+r=(n+1)r

notiamo che se x è r-archimedeo allora esso è superato da un certo nr;  in tal caso  x+r < nr+r, quindi x+r < (n+1)r, ossia  x+r  è anch'esso r-archimedeo

mettiamoci nell'ipotesi, che come proveremo porta a contraddizione, che esistano numeri reali positivi non r-archimedei; indichiamo con A_r l'insieme dei numeri reali positivi r-archimedei e con B_r l'insieme dei numeri reali positivi non r-archimedei; stiamo quindi supponendo che B_r non sia vuoto

l'unione di A_r  e di   B_r  è tutto l'insieme dei numeri reali positivi, in quanto un generico numero reale positivo o è r-archimedeo  (e quindi è in A_r)   oppure non è r-archimedeo  (e allora è in B_r)

A_r  precede  B_r ; infatti se x è in A_r  e  y è in B_r ,  esiste un intero positivo n tale che  x < nr   (in quanto x è r-archimedeo) e inoltre si deve avere necessariamente nr<y (in caso contrario y ≤ nr , per cui sarebbe y<nr+r=(n+1)r  e y sarebbe r-archimedeo, mentre y, essendo in B_r , non è r-archimedeo); quindi x<y

Riassumendo: A_r e B_r sono non vuoti, uniti danno tutto R⁺, A_r precede B_r ; pertanto per gli assiomi di continuità (densità e completezza) si deve avere una delle due seguenti situazioni:
1) A_r ha un massimo;     2) B_r ha un minimo

se vale 1) allora, detto x il massimo di A_r , si arriva all'assurdo che x+r (essendo maggiore di x) non è in A_r , quindi è in B_r , e nel contempo   (come visto sopra)  deve essere r-archimedeo

se vale 2), allora, detto x il minimo di B_r e preso un x' reale positivo tale che x'<x (la cui esistenza è asserita dall'assioma di densità), indichiamo con x'' il maggiore fra x' e x-r ;  allora x'' non è in B_r (in quanto x''<x  e  x è il minimo di B_r), quindi x'' è in A_r , ma allora x''+r è sia in A_r  (perché r-archimedeo anch'esso come lo è x'') sia in B_r  (in quanto x'' ≥ x-r , per cui x''+r ≥ x; quindi x''+r è in B_r)

in entrambi i casi 1) e 2) perveniamo a situazioni contraddittorie; pertanto è errato supporre che B_r sia non vuoto; di conseguenza A_r coincide con tutto l'insieme dei numeri reali positivi.

 enunciato :   dato un numero reale positivo x esiste un numero intero positivo n tale che 1/n < x

una maniera più espressiva di enunciare ciò è la seguente :  dato un numero reale positivo x, comunque piccolo, è possibile suddividere l'unità in parti uguali in modo che tale frazione sia inferiore a x

dimostrazione :  non esistono numeri che non siano x-archimedei, quindi 1 è x-archimedeo, ossia esiste un intero positivo n tale che 1<nx, e di conseguenza  1/n < x .

quanto dimostrato comporta che dati due numeri reali  a e b, con a<b, esiste sempre un numero razionale compreso fra a e b   (proprietà detta "densità dei razionali nei reali"). Infatti, per via della proprietà (A2) esiste un n intero positivo n tale che 1/n < b-a  (e quindi   a+1/n < b); inoltre, per via della (A1), esiste un  m  intero positivo tale che a < m (1/n) = m/n; supponendo che m sia il minimo numero intero positivo  per cui ciò accade, si ha che  m/n -1/n ≤ a, ossia  m/n ≤ a + 1/n < b, per cui si ha    a < m/n < b, ossia il numero razionale m/n è compreso fra i numeri reali dati  a  e  b.