operatori di moltiplicazione e omotetie

• moltiplicatore e moltiplicando: nell'espressione del prodotto x•z il primo fattore x è detto moltiplicatore (e in questo caso è reale) e il secondo fattore z è detto moltiplicando. Estenderemo successivamente la moltiplicazione al caso di moltiplicatore complesso
   
• operatori di omotetia (moltiplicatore fisso): se si fissa un numero reale x, la funzione da C a C definita dalla corrispondenza zx•z è detta omotetia di rapporto x. Ponendo H_x(z) = x•z, si ottiene la notazione H_x per tale omotetia. Come fatto con le traslazioni, possiamo far agire anche le omotetie su intere figure (vedi la figura qui a sinistra)
   
• composizione di omotetie: in maniera analoga a quanto accade per la composizione di traslazioni, l'omotetia composta H_xH_y  è tale che:
      (H_xH_y)(z) = H_x(H_y(z)) = x(yz) = (xy)z = H_xy(z)
  e pertanto risulta: H_xH_y = H_xy = H_yx
   
• valgono le seguenti proprietà delle omotetie: (sono dimostrabili facilmente: prova a dimostrarle)

• commutatività: dalla commutatività della moltiplicazione in R segue: H_xH_y = H_yH_x
• associatività: la composizione di funzioni è sempre associativa: (fg)h = f(gh). In particolare ciò, quindi, vale per le omotetie
• neutralità dell'omotetia identica: l'omotetia di rapporto unitario H₁ è la funzione identità   zz
• invertibilità di un'omotetia non degenere: l'omotetia H₀ è la funzione identicamente nulla   z0 ed è detta omotetia degenere. Se x non è nullo, H_x è detta non degenere; in tal caso l'omotetia inversa è H_1/x ,   ossia:
  H_x^-1 = H_1/x   ( tieni presente che (1/x)xz = x(1/x)z = z, visto che x(1/x)=1 e viste la commutatività e l'associatività )
• linearità di un'omotetia: H_x(z+w) = H_x(z) + H_x(w)   ( ricorda la proprietà distributiva del moltiplicatore )
  e   H_x(r·z) = r·H_x(z) (dove rR)   ( tieni presente l'associatività dei moltiplicatori e la commutatività  x·r = r·x )