unità immaginaria e numeri complessi

• ortonormalità di 1 e i: introduciamo graficamente il punto i come quel punto che dista da 0 quanto ne dista 1 e che sta a sinistra di 0 guardando 1.Tale configurazione grafica è detta ortonormale.
  Matematicamente, invece, richiederemo solo il seguente:

• assioma dell'unità immaginaria:
  
  
  i  non è in  R
  
   

• la retta I := R•i è detta asse immaginario. Graficamente tale asse è perpendicolare all'asse reale R. C è generato dai punti 1 e i mediante l'addizione (che è basata sul punto 0) e la moltiplicazione lineare, ossia C è generato dalle combinazioni lineari di 1 e i. In tal senso si può asserire che i punti 0, 1, i sono i punti basilari su cui poggia C (per tre punti passa uno ed un solo piano). Considerando 1, i e gli altri punti di C come vettori (quindi riferiti all'origine 0), ogni altro vettore di C è esprimibile come combinazione lineare di 1 e i, ossia a partire da una coppia di vettori indipendenti (infatti i non appartiene a R). E' questo il contenuto dell'ultimo assioma della teoria:

• assioma di bidimensionalità:
  
  
  C = R + I
  
   

• operazioni e operatori:

• operatore Re: se z = x + y i, il numero reale x è detto parte reale di z. Si pone: Re(x+yi) := x
• operatore Im: se z = x + y i, il numero reale y è detto coefficiente della parte immaginaria di z.
  Si pone: Im(x+yi) := y
• somma "componente per componente": (x+yi) + (x'+y'i) = (x+x') + (y+y')i  
• opposto "componente per componente": -(x+yi) = (-x) + (-y)i = -x - yi  
• multiplo "componente per componente": r(x+yi) = rx + (ry)i   (dove rR)  
• operatore di coniugazione: il numero complesso x-yi è detto coniugato del numero complesso x+yi. Si pone: conj(x+yi) := x-yi. Spesso il coniugato di un numero complesso z si indica tramite sopralineatura o tramite un meno scritto come apice: conj(z) = z = z^-.
  L'operatore conj è lineare: conj(z+w) = conj(z) + conj(w)  e  conj(r·z) = r·conj(z)   (rR)  
• operatore di inversione delle coordinate (o inversione cartesiana): inv(x+yi) := y+xi. Possiamo utilizzare anche la notazione abbreviata con un asterisco: inv(z) = z^*.
  Si ha: inv(z+w)=inv(z) + inv(w)  e  inv(r·z)=r·inv(z)   (rR), ossia anche l'operatore inv è lineare.

• espressione dell'opposto tramite coniugazione e inversione delle coordinate:
                - z = inv( conj( inv( conj(z) ) ) ) = ( ( (z^-)^*)^-)^* = z ^{- * - *}