informatematica

circonferenza goniometrica

C(0,1) = { u∈C : u·ū = 1 } ( v. def. di punto unitario )

C(0,1) = { (x,y)∈R² : x²+ y² = 1 }

funzione goniometrica

t → P( t ) ∈ C(0,1) , con t∈R

proprietà di base della funzione goniometrica

P( α + β ) = P( α ) · P( β )

P(π/2) = i = (0,1) = 1^⊥

P( 0 ) = 1 = (1,0) (derivabile dalla prima)

P( -α ) = P( α ) (derivabile da prima e terza)

definizione fondamentale

P( α ) = ( cos α , sin α ) = cos α + i sin α

prime proprietà derivate da quelle di base

P(π)=P(π/2+π/2)=P(π/2)·P(π/2)=i²=-1

P(3π/2) = P( π + π/2) = (-1)·P(π/2) = -i

P(2π) = P(π+π) = P(π)·P(π) = (-1)(-1) = 1

P(t+2π) = P(t)·P(2π) = P(t)

angoli associati

P(t+π) = P(t)·P(π) = P(t)·(-1) = -P(t)

P(t+π/2) = P(t)·P(π/2) = P(t)·i = P(t)^⊥

P(t-π/2)=P(t)·P(-π/2)=P(t)·ī=P(t)·(-i)= - P(t)^⊥

P(π-t) = P(π)·P(-t) = P(π)·P(t) = -P(t)

P(π/2-t)=P(π/2)·P(-t)=P(π/2)·P(t)=i·P(t)=(P(t))^⊥

P(2π-t) = P(2π)·P(-t) = P(2π)·P(t) = P(t)

P(-π/2-t)=P(-π/2)·P(-t)=(-i)·P(t)= - (P(t))^⊥

qui sotto, usa i punti b , c , d come "interruttori" :
prova a portare uno o più di questi punti sopra l'asse delle ascisse

il morfismo additivo-moltiplicativo esponenziale

In figura a , b e c possono essere mossi col mouse

La funzione rappresentata in figura è f(x)=a^x , con a>0 ;
illustriamo geometricamente la proprietà f(b+c) = f(b)·f(c),
ossia: a^b+c = a^b · a^c.
Si riporta l'ordinata di h=(b,f(b)) parallelamente all'asse delle ascisse
fino ad incontrare la retta verticale x=1. Si ottiene (1,f(b)), e per tale
punto si conduce la retta passante per l'origine, di equazione y=f(b)·x
D'altra parte si riporta il punto k=(c,f(c)) sull'asse delle ordinate, ottenendo
il punto (0,f(c)) e si riporta questo sul punto (f(c),0) dell'asse delle ascisse
tramite la retta parallela al segmento congiungente (1,0) con (0,1).
Dal punto (f(c),0) trovato si sale in verticale fino ad incontrare la retta
per l'origine determinata prima nel punto (f(c),f(b)·f(c)) .
Infine si riporta quest'ultimo punto all'ascissa n=b+c, determinando così il
punto m=(n,f(b)·f(c))=(b+c,f(b)·f(c))=(b+c,f(b+c)), che sta su f .

Tale costruzione nel caso b=1 permette di costruire f(x) con x=0,1,2,3,...

clicca sulla figura e poi premi più volte la barra spaziatrice
( premi il tasto c per ritornare al punto iniziale )

Si parte da x=0 , k=(x,f(x))=(0,f(0))=(0,1) e m=(x+1,f(x+1))=(1,f(1))=(1,a)=h
e ad ogni pressione della barra spaziatrice si passa da x a n=x+1 ;
dopo la prima pressione si ha: k=(1,f(1))=h e m=(2,f(2))=(2,f(1)²);
dopo la seconda: k=(2,f(2)) e m=(3,f(3))=(3,f(2)f(1))=(3,f(1)³), ecc...

Spostando il punto d fino a dargli ascissa, ad esempio, 2, si passa ad
avanzamenti non più di 1, bensì di 1/2, dividendo quindi l'asse delle ascisse
in tratti di 1/2 e partendo da h=(1/2,f(1/2))=(1/2,a^1/2).

Spostando il punto d fino a dargli ascissa, ad esempio, 3, si passa ad
avanzamenti non più di 1, bensì di 1/3, dividendo quindi l'asse delle ascisse
in tratti di 1/3 e partendo da h=(1/3,f(1/3))=(1/3,a^1/3).

e così via ... (quindi d determina in quante parti dividere l'unità)

moltiplicazione grafica di numeri complessi

Prendi due punti ( numeri complessi ) a e b

congiungi con segmenti a con la sua ascissa a_x e con la sua ordinata a_y·i

congiungi con segmenti b con la sua ascissa b_x e con la sua ordinata b_y·i

congiungi con segmenti i punti 1 e i e poi i punti -1 e i

traccia per il punto a_x la parallela al segmento 1_i e determinane
l'intersezione con l'asse delle ordinate: questo punto è a_x·i

traccia per il punto a_y·i la parallela al segmento -1_i e determinane
l'intersezione con l'asse delle ascisse: questo punto è -a_y

costruisci la verticale per -a_y e l'orizzontale per a_x·i : la loro intersezione
è il punto n = -a_y+ a_x·i = a^{^} normale ( ortonormale ) al punto a

congiungi con segmenti i punti 1 e a e poi i punti i e n

traccia per il punto b_x la parallela al segmento 1_a e determinane
l'intersezione con la retta 0_a : questo punto è b_x·a

traccia per il punto b_y la parallela al segmento i_n e determinane
l'intersezione con la retta 0_n : questo punto è b_y·n

traccia per b_x·a la parallela a 0_n e per b_y·n la parallela a 0_a :
l'intersezione di tali rette è m = b_x·a + b_y·a^{^} = (b_x·1 + b_y·1^{^})·a = b·a