stiramento orizzontale di exp

• Sottoporremo adesso exp a delle trasformazioni dette stiramenti orizzontali, per ottenere da exp altre funzioni esponenziali
• chiamiamo stiramento orizzontale di rapporto s   la trasformazione   ( x , y ) ( x•s , y )   (con s ≠ 0)

• stiramento di exp:
  f = exp = { (x,y) : y=exp(x) } f' = { (x•s , y) : y=exp(x) }
  f' = { (x',y): y=exp(x'/s) } = { (x,y): y=exp(x/s) }
• stiramento della retta tangente:
  r = { (x,y) : y=x+1 } r' = { (x•s , y) : y=x+1 }
  r' = { (x',y): y=x'/s + 1 } = { (x,y): y=x/s + 1 }
• come f=exp è tangente a r in (0,1), così f' è tangente a  r'  in  (0•s,1) = (0,1)

• prendendo k = 1/s, concludiamo che:

• la funzione esponenziale y=exp(kx) è tangente alla retta y=kx+1 nel punto (0,1)
• lim _{h → 0} ( 1 + k•h )^1/h = base di f' = e^k

• notiamo espressamente che la funzione  f' ,  cioè y = exp(kx) = e^kx = (e^k)^x,  è l'esponenziale di base e^k.