coordinate (ortonormali) di un punto a rispetto a un vettore non nullo u: sono i due numeri reali x e y,ossia la coppia (x,y), tali che:
a = x•u + y•ort(u).
Usiamo la notazione abbreviata: a u ( x , y ).
Esempi: x+yi 1 ( x , y ) ;
(x+yi)w w ( x , y )
proporzioni espresse tramite coordinate:
se v e w sono non nulli, la scrittura: v' : v = w' : w significa:
v'v (x,y) e
w'w (x,y) con gli stessi x e y
proporzioni e roto-omotetie: si ha zw : w = zv : v in quanto Rz porta w in zw e porta v in zv (quindi le coordinate di zw rispetto a w e quelle di zv rispetto a v sono le stesse che ha z rispetto a 1)
rapporto di zw rispetto a w: sussiste la proporzione:
zw : w = z : 1.
Il numero complesso z è detto rapporto fra zw e w o rapporto di zw a w
dato w' e dato w non nullo, esiste (lo proveremo in seguito)uno e un solo z
tale che w' = zw, ossia tale che w' : w = z : 1 (ovvero: z è il rapporto di w' a w).
Si pone, per definizione: w'/w := z (e quindi: (w'/w)w=w')
proporzioni e uguaglianze di rapporti: se v e w sono non nulli, v' : v = w' : w equivale a: v'/v = w'/w
le seguenti proprietà si basano sull'esistenza e unicità del rapporto (che proveremo nella prossima sezione):
inverso di z: se z non è nullo, esiste un z', non nullo anch'esso, tale che
z' : 1 = 1 : z. Quindi z' = 1/z.
Il numero 1/z è detto inverso o reciproco di z e va ben distinto dall'inverso cartesiano di z, che è inv(z). Per tale motivo, 1/z è a volte detto, più specificatamente, inverso algebrico di z
inversione e roto-omotetie: se z è non nullo e z' è il suo inverso, la roto-omotetia Rz', che porta 1 in z', porta z in 1. L'ultima condizione significa: Rz'(z) = z•z' = 1
unicità della roto-omotetia che porta un dato z non nullo in un dato z' : se z e z' sono due numeri complessi e z non è nullo,
esiste una ed una sola omotetia che porta z in z'
divisione in C: se z è non nullo e u è in C, si ha: u/z = u(1/z) (ovvero: dividere significa moltiplicare per l'inverso)
inversione di una roto-omotetia non degenere (ossia con fattore non nullo):
se z non è nullo, R1/z è l'inversa di Rz.
Ossia: (Rz)-1 = R1/z
( tale formula collega l'inversione di funzioni alla inversione algebrica )
u ( x , y ).
