i n u m e r i r e a l i | |||
addizione | oggetti primitivi | S : insieme (spazio) | |
0 : elemento di S (zero) | |||
+ : operazione con due input in S e un output in S | |||
assiomi (proprietą primitive) |
commutativitą | x + y = y + x | |
associativitą | (x + y ) + z = x + (y + z) | ||
neutralitą | x + 0 = x | ||
simmetricitą | ∀x ∃ y ( x + y = 0 ) | ||
alcuni teoremi (proprietą derivate) e definizioni (oggetti derivati) |
x+y+z := (x+y)+z , x+y+z+w := ((x+y)+z)+w , ecc. | ||
( x+y=0 e x+y'=0 ) -> ( y=y' ) | |||
operatore - a un input (opposizione): x + (-x) = 0 | |||
operatore - a due input (sottrazione): x-y := x+(-y) | |||
( x + y = z ) -> ( x = z - y e y = z-x ) | |||
( x + y = 0 ) -> ( x = -y e y = -x ) | |||
- ( - x ) = x | |||
- 0 = 0 | |||
- ( x + y ) = ( - x ) + ( - y ) = - x - y | |||
- ( x - y ) = - x + y | |||
ordine e unitą |
oggetti primitivi | R+ : sottoinsieme di S (verso reale positivo) (gli elementi di tale sottoinsieme sono detti "numeri reali positivi") | |
1 : elemento di R+ (uno) | |||
definizioni | ( x > y ) := ( x - y ∈ R+ ) (relazione "maggiore di") | ||
( x < y ) := (y > x ) (relazione "minore di") | |||
( x ≥ y ) := ( ( x > y ) o ( x = y ) ) ("maggiore o uguale") | |||
( x ≤ y ) := ( ( x < y ) o ( x = y ) ) ("minore o uguale") | |||
( A precede B in R+ ) := ( (A sottoinsieme non vuoto di R+) e (B sottoinsieme non vuoto di R+) e (∀x∈A ∀y∈B (x < y) ) ) | |||
( x = max(A) ) := ( (x∈A) e (∀y∈A ( y ≤ x ) ) ) | |||
( A ha max) := (∃ x ( x = max(A) ) ) | |||
( x = min(B) ) := ( (x∈B) e (∀y∈B ( x ≤ y ) ) ) | |||
( B ha min) := (∃ x ( x = min(B) ) ) | |||
- A := { - x : x ∈ A } ( ":" si legge "tale/i che" ) | |||
A' := { x ∈ R+ : x ∈ A } ( "complementare" di A ) | |||
R- := -R+ (verso negativo) , R := R- ∪ {0}∪R+ (asse reale) | |||
N := { 0 , 1 , 2 := 1+1 , 3 := 1+1+1 , ... } (numeri naturali) | |||
Z := N ∪ ( -N ) (numeri interi relativi) | |||
N+ = Z+ := N - {0} = { 1 , 2 , 3 , ... } | |||
1·x := x , n·x := (n-1)·x + x (moltiplicazione), n x := n·x | |||
assiomi | chiusura | ( ( x > 0 ) e ( y > 0 ) ) -> ( x + y > 0 ) | |
tricotomia | ( (x>0) e (y>0) ) -> ( (x=y) o (x<y) o (x>y) ) | ||
densitą | ( x > 0 ) -> ( ( x ≠ 0) e ( ∃ y > 0 ( y < x ) ) ) | ||
continuitą | (A precede A' in R+)->((A ha max) o (A' ha min)) | ||
alcuni teoremi e altre definizioni |
0 ∈R+ (0 non appartiene al verso reale positivo), quindi 1 ≠ 0 | ||
( x > y ) -> ( x ≠ y ) (antiriflessivitą) | |||
( x > y ) -> non( y > x ) (antisimmetricitą) | |||
( ( x > y ) e ( y > z ) ) -> ( x > z ) (transitivitą) | |||
(∀ n∈N+ 1/n := max( { x∈R : n x ≤ 1 } ) ) e ( n(1/n) = 1 ) | |||
Q+:={m/n := m(1/n): m∈N+, n ∈N+} (numeri razionali positivi) | |||
Q- := -Q+ , Q := Q- ∪ {0}∪ Q+ (numeri razionali) |
Per una dimostrazione di come la divisibilitą derivi da
densitą e continuitą vedi il mio post del 27/10/2003 su www.informatematica.splinder.com |