il teorema di Archimede

il teorema di Archimede per i numeri reali

<< dati due numeri reali positivi r e x , esiste un numero intero positivo n tale che x < nr >>

(A1) enunciato in simboli : ∀r∈R⁺ ∀x∈R⁺ ∃n∈N⁺ x < n r

una maniera più espressiva di enunciare questo teorema è la seguente : dato un numero reale positivo r , comunque piccolo, e dato un numero reale positivo x , comunque grande, è possibile superare x sommando un opportuno numero di volte r a se stesso ( ossia superare x con un multiplo di r )

dimostrazione ( basata sugli assiomi di continuità e densità )

definiamo "archimedeo rispetto ad r" ( o, più brevemente, r-archimedeo) un numero reale positivo x superato da un multiplo di r, ossia un numero x tale che esista un intero positivo n tale che x < n r

si tratta di dimostrare che ogni numero reale positivo è archimedeo rispetto ad r (ossia r-archimedeo)

i multipli nr, con n interi positivi, sono certamente r-archimedei, in quanto ogni x=nr è superato dal "successivo" multiplo nr + r = (n+1)r

notiamo che se x è r-archimedeo allora esso è superato da un certo nr ; in tal caso x+r < nr+r, quindi x+r < (n+1)r , ossia x+r è anch'esso r-archimedeo

nel seguito faremo un ragionamento per assurdo

mettiamoci nell'ipotesi, che come proveremo porta a contraddizione, che esistano numeri reali positivi non r-archimedei; indichiamo con A_r l'insieme dei numeri reali positivi r-archimedei e con B_r l'insieme dei numeri reali positivi non r-archimedei; stiamo quindi supponendo che B_r non sia vuoto

A_r non è vuoto perché contiene tutti i multipli nr con n variabile nell'insieme degli interi positivi

l'unione di A_r e di B_r è tutto l'insieme dei numeri reali positivi, in quanto un generico numero reale positivo o è r-archimedeo ( e quindi è in A_r ) oppure non è r-archimedeo ( e allora è in B_r )

A_r precede B_r ; infatti se x è in A_r e y è in B_r , esiste un intero positivo n tale che x < nr (in quanto x è r-archimedeo) e inoltre si deve avere necessariamente nr<y (in caso contrario y ≤ nr , per cui sarebbe y<nr+r=(n+1)r e y sarebbe r-archimedeo, mentre y, essendo in B_r , non è r-archimedeo); quindi x<y

Riassumendo: A_r e B_r sono non vuoti, uniti danno tutto R⁺, A_r precede B_r ; pertanto per l'assioma di continuità si deve avere una delle due seguenti situazioni: 1) A_r ha un massimo ; 2) B_r ha un minimo

se vale 1) allora, detto x il massimo di A_r , si arriva all'assurdo che x+r (essendo maggiore di x) non è in A_r , quindi è in B_r , e nel contempo ( come visto sopra ) deve essere r-archimedeo

se vale 2), allora, detto x il minimo di B_r e preso un x' reale positivo tale che x'<x (la cui esistenza è asserita dall'assioma di densità), indichiamo con x'' il maggiore fra x' e x-r ; allora x'' non è in B_r (in quanto x''<x e x è il minimo di B_r), quindi x'' è in A_r , ma allora x''+r è sia in A_r ( perché r-archimedeo anch'esso come lo è x'' ) sia in B_r ( in quanto x'' ≥ x-r , per cui x''+r ≥ x; quindi x''+r è in B_r )

in entrambi i casi 1) e 2) perveniamo a situazioni contraddittorie; pertanto è errato supporre che B_r sia non vuoto; di conseguenza A_r coincide con tutto l'insieme dei numeri reali positivi.

una conseguenza del teorema di Archimede : la densità dei razionali nella retta reale

<< dato un numero reale positivo x esiste un numero intero positivo n tale che 1/n < x >>

(A2) enunciato in simboli : ∀x∈R⁺ ∃n∈N⁺ 1/n < x

una maniera più espressiva di enunciare ciò è la seguente : dato un numero reale positivo x , comunque piccolo, è possibile suddividere l'unità in parti uguali in modo che tale frazione sia inferiore a x

dimostrazione : non esistono numeri che non siano x-archimedei, quindi 1 è x-archimedeo, ossia esiste un intero positivo n tale che 1 < nx , e di conseguenza 1/n < x .

quanto dimostrato comporta che dati due numeri reali a e b, con a<b, esiste sempre un numero razionale compreso fra a e b ( proprietà detta "densità dei razionali nei reali" ). Infatti, per via della proprietà (A2) esiste un n intero positivo n tale che 1/n < b-a ( e quindi a +1/n < b ) ; inoltre, per via della (A1), esiste un m intero positivo tale che a < m (1/n) = m/n ; supponendo che m sia il minimo numero intero positivo per cui ciò accade, si ha che m/n -1/n ≤ a , ossia m/n ≤ a + 1/n < b , per cui si ha a < m/n < b , ossia il numero razionale m/n è compreso fra i numeri reali dati a e b.