Densità : dati x e y in R tali che x<y, esiste un z in R tale che  x<z  e  z <y 

(in breve : x<z<y ).

  Ciò deriva dall’assioma: x∈P  ⇒  ∃ x’∈P  x-x’∈P .

  Infatti, preso  x’ in modo che x’>0 e  x’<y-x , si ha  x<x+x’<y .

Conseguenze :

Teorema (di subdimezzabilità o subdivisibilità binaria) :

  dato x>0, esiste y>0 tale che      2y=y+y<x .

   dimostrazione:  preso  z>0 tale che z<x (l’esistenza di un tale z è postulata dall’assioma precedente), se anche 2z<x si prende y=z, altrimenti si prende y<x-z

(infatti da 2z ≥x segue  x-z ≤  z  e quindi  2x-z ≤ x+z , quindi 2(x-z)=2x-2z ≤ x)

Teorema (di subdivisibilità) :

  dato n numero naturale non nullo e dato x>0, esiste y>0 tale che    ny < x .

  dimostrazione: si procede per induzione su n. Se n=1 l’asserto coincide con l’assioma di densità. Supposto che esista y>0 tale che ny<x, dalla subdimezzabilità segue l’esistenza di un y’>0 tale che 2y’<y ,  per cui si ha  (n+1)y’ ≤ 2ny’ < ny < x .

Continuità

   Definizioni :

1) dati A e B sottoinsiemi di R si dice che A precede B (scrivendo A<<B) se A e B sono non vuoti e ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B.

  (In particolare ne segue che A e B sono disgiunti)

2) intervalli :   [a,b] := {x : a ≤ x ≤ b} , 

                     ]a,b] := {x : a < x ≤ b} ,

                     [a,b[ := {x : a ≤ x < b}  ,

                     ]a,b[ := {x : a < x < b} ,

    semirette :  [a , ∞ [ := {x : a ≤ x } , 

]a , ∞ [ := {x : a < x } (illimitate superiormente) ;

                    ]-∞ , a] := {x : x ≤ a } ,

]-∞ , a[ := {x : x < a } (illimitate inferiormente) .

3) un sottoinsieme A di R è detto “collocato inferiormente” se precede il suo complementare; un sottoinsieme B di R è detto “collocato superiormente” se il suo complementare lo precede. 

Assioma di continuità :

Ogni sottoinsieme di R collocato inferiormente è una semiretta illimitata inferiormente   (quindi del tipo  ]-∞ , a]  oppure ]-∞ , a[ ).

L’elemento a è detto “separatore” (o “elemento di separazione”) fra A e il suo complementare. Esso è anche detto “estremo superiore” di A e “estremo inferiore” del complementare di A  ; nel caso in cui esso appartiene ad A (ossia  A=]-∞,a]) è detto “massimo” di A, mentre nel caso esso non appartiene ad A (ossia A=]-∞,a[) esso è detto “minimo” del complementare di A.

Divisibilità  : se n è un numero naturale non nullo, per ogni x>0 esiste un unico y>0 tale che ny = x .

(Se invece x<0, allora esiste un unico y<0 tale che ny=x, per provare la quale cosa si procede a dividere –x>0 e poi a cambiare di segno il risultato della divisione).

     La dimostrazione (che nel caso n=1 è ovviamente inutile) si ottiene considerando i due insiemi:    A := {z :  nz ≤  x}   e  B :={z :  nz >  x}, che risultano essere complementari e il primo precedente il secondo, per cui si pone y uguale al separatore di A e B. Tale y non può verificare né la condizione ny>x (in quanto se così fosse, preso p > 0 tale che  np < ny-x ,  si avrebbe n(y-p)=ny-np>ny-ny+x=x e quindi y-p minore di y ma in B, invece che in A) né la condizione ny<x (in quanto se così fosse, preso p > 0 tale che  np < x-ny ,  si avrebbe n(y+p)=ny+np<ny+x-ny=x e quindi y+p maggiore di y ma in A, invece che in B) e pertanto deve risultare ny=x.