informatematica

epinoemi matematinformatici di Gaetano Speranza

il tuo browser non supporta java oppure java è disattivato!

28/06/2005

... e un'introduzione all'informatica

un'introduzione alla logica

25/06/2005

squiSITO , ma gustabile solo con ...
posateria microsoft (*)

(*) ...ossia con internet explorer.

Vedi anche il seguente link

21/06/2005

20/06/2005

cambiamento di base nei logaritmi :
log_b x = ( log_a x ) / ( log_a b )
( log_a x = log_a b^(log_b^x) = log_b x · log_a b = log_a b · log_b x )

Nella figura sono rappresentate exp_a , exp_b , log_a , log_b ;
k è quel numero tale che a^k=b , quindi k=log_ab ;
la figura illustra che b^x = a^kx e che quindi, per simmetria rispetto a y=x,
log_ax = k·log_bx
( ovvero: log_ax = log_ab · log_bx )

vedi la seguente pagina

Logaritmo di una potenza (logaritmo di esponenziale) :
log_a b^x = x · log_a b

Quando b=a   (porta col mouse b a coincidere con a)   log_b=log_a ed exp_a sono funzioni inverse
e quindi la loro composizione è l'identità: log_a a^x = x .
In generale, se k è quel numero tale che a^k=b ,   quindi k=log_ab , si ha:
log_a b^x = log_a a^kx= k·x = x · log_ab .
In figura x è l'ascissa del punto d (spostabile col mouse) e m=b^x=a^kx .
Muovendo d si modificano, sull'asse delle ascisse, x , k·x   e   m .

Prodotto di esponenziali : a^x·b^x = (a·b)^x

In figura abbiamo le funzioni exp_a ,   exp_b   ed exp_ab ;
l'ascissa variabile x è l'ascissa del punto d (spostabile col mouse) ;
k è quel numero tale che a^k=b ,   quindi k=log_ab ;
sull'asse delle ascisse compaiono, insieme con k,   x , kx e x+kx ;
m   è il punto   (x,a^x+kx)=(x,a^xb^x) , che coincide con (1,ab) se x=1 ;
siccome: a^xb^x=a^xa^kx=a^x+kx=a^(1+k)x=(a^1+k)^x=(a·a^k)^x=(ab)^x ,
si ha che m varia sulla curva esponenziale exp_ab .
L'uguaglianza a^xb^x=(ab)^x esprime il fatto che   exp_a · exp_b = exp_ab .

17/06/2005

inversione di una funzione

Muovendo i punti a e b si modifica il dominio della funzione scelta nella casella f (il cui grafico è in azzurro). La relazione inversa di f è il grafico g (in rosso - scompare se il punto d viene portato sotto l'asse delle ascisse). Come si vede nell'esempio preso in esame (che può essere modificato inserendo un'altra espressione f(n) nella casella f), se la funzione f non è iniettiva (ossia se non associa ad ascisse distinte ordinate distinte - e il movimento del punto c permette di evidenziare se c'è, come in questo caso, qualche ordinata associata ad ascisse distinte), allora g è una relazione (ossia un insieme di coppie) ma non una funzione, in quanto (come evidenzia la retta verticale viola, essa stessa inversa di quella orizzontale verde) esistono valori x dell'ascissa a cui g associa differenti ordinate, per cui non può esser usata la notazione g(x), che verrebbe ad essere ambigua.

esponenziale di un prodotto : a^kx = (a^k)^x

La curva blu è la funzione esponenziale in base a , quindi f : x -> a^x , ossia f = {(x,y) : y=a^x }, mentre la curva rossa è la funzione g ottenuta per stiramento orizzontale di fattore c , ossia l'ascissa di ogni coppia costituente f è moltiplicata per il fattore c , per cui g = {(cx,y) : y=a^x } = {(x',y) : y=a^x'/c }, ossia, ponendo k=1/c, g : x -> a^kx .
Nella figura l'ascissa variabile x è l'ascissa del punto d (mobile col mouse) e m=(x,g(x)) e h=(kx,f(kx)).
Quando x=1 si ha m=(1,a^k) e h=(k,f(k))=(k,a^k) . Si pone il problema: la funzione g , che passa per (0,1) e per (1,a^k), è l'esponenziale in base a^k ?
La risposta positiva, che equivale a dire che g(x)=(a^k)^x , ossia equivale all'uguaglianza (scritta nel titolo) a^kx=(a^k)^x , è mostrabile in figura portando il punto b sull'asse delle ordinate (o anche leggermente alla sua destra), il che fa trasformare la curva blu nella funzione esponenziale x -> b^x , e portando b a coincidere con a^k (che è l'ordinata di m o di h quando d ha ascissa 1).

Per (di)mostrare teoricamente che la funzione g:x->a^kx è l'esponenziale in base a^k basta notare che g(0)=1 e g(1)=a^k e che g porta somme in prodotti, ossia che g(x+x')=g(x)g(x') tenendo presente che l'esponenziale in base a^k è l'unica funzione (continua) con tali dette tre proprietà .
Poi, se uno vuole una prova meno elegante quanto più "scolastica", si può sempre verificare l'uguaglianza a^kx=(a^k)^x per valori razionali di k e di x ed estenderne la validità a tutto R per prolungamento continuo... E' pur sempre un buon esercizio di manipolazione di frazioni, potenze e radic(al)i.
vedi la seguente pagina