l o g a r i t m i   :       proprietà  ( regole di calcolo )   fondamentali 

Partiamo da:     y = a^x         ( a > 0 )

y = exp_a ( x )        ( definizione di exp )

x = log_a ( y )       ( definizione di log )

y' = exp_a ( x' )

x' = log_a ( y' )

a ^{x + x'}   =  a ^x  ·  a ^x'     ( proprietà della somma degli esponenti )

y · y'  = a^x · a^x' = a^x+x' = exp_a ( x + x' )

 =>             x + x'  =   log_a ( y · y' )

 (1) regola del logaritmo di un prodotto :      log_a ( y · y' ) = log_a ( y ) + log_a ( y' )

a ^{x  x'}   = ( a ^x ) ^x'          ( proprietà del prodotto degli esponenti )

y = exp_a ( x )

x = log_a ( y )

y^c = ( exp_a(x) )^c = ( a^x )^c = a^x·c = exp_a(x·c)

=>                x c   =  log_a ( y ^c )

 (2) regola del logaritmo di una potenza :           log_a ( y ^c ) = c · log_a (y)

 log_a( z / y )=log_a(z · 1/y)=log_a(z) - log_a(y)

 log_y ( b ) = log_a ( b ) /  log_a ( y )

Logaritmo di potenza (logaritmo di esponenziale) :   log_a b^x = x · log_a b

Quando  b=a   (porta col mouse  b  a coincidere con  a)  
log_b=log_a  ed  exp_a  sono funzioni inverse
e quindi la loro composizione è l'identità:  log_a a^x = x .
In generale, se  k  è quel numero tale che  a^k=b ,   quindi  k=log_ab , si ha:
log_a b^x = log_a a^kx = k·x = x · log_ab .
In figura  x  è l'ascissa del punto  d  (spostabile col mouse)  e  m=b^x=a^kx .
Muovendo  d  si modificano, sull'asse delle ascisse,  x ,  k·x   e   m .