Dalla potenza di un binomio all'esponenziale nel campo complesso

Partiamo dalla seguente espressione della potenza binomiale :

      
       n    n    n      n - k   k
(a + b)  =  Σ  (   ) · a     · b 
           k=0   k              

dove :

      
    n           n!     
  (   ) = —————————————
    k      k!·(n - k)!     

Un caso particolare di tale formula è il seguente :

      
       z   n    n    n      z   k 
( 1 + ——— )  =  Σ  (   )·( ——— )  
       n       k=0   k      n      

ovvero :

      
       z   n    n         n!         k
( 1 + ——— )  =  Σ   ————————————— ·z 
       n       k=0  k!·(n - k)!·nk          

in questa somma i coefficienti valgono 1 per k=0 e k=1 e altrimenti :

      
               n!          n(n-1)...(n-k+1)    1          1           2                 k-1
 c n,k =   —————————————— = ———————————————— = ——— ·( 1 - —— )·( 1 - —— )· ... ·( 1 - ———— )    
          k!·(n - k)!·nk         k!·nk           k!         n           n                  n

Osserviamo i seguenti fatti :

1. se  z = x  è un numero reale positivo lo sviluppo in somma di  ( 1 + x/(n+1) )ⁿ⁺¹ ha n+2 addendi tutti positivi dei quali i primi n+1 (ottenuti per k=0,...,n) sono maggiori o uguali (anzi maggiori se k non è 0 o 1) dei corrispondenti presenti nello sviluppo in somma di (1 + x/n)ⁿ ,  per cui la successione  {(1 + x/n)ⁿ}_n  è crescente ;

2. se z = x  è un numero reale la successione  {(1 + x/n)ⁿ}_n  è limitata superiormente ; infatti nel caso x = 1 ogni addendo corrispondente a un indice  k = 1, ...,n   nello sviluppo in somma di (1 + 1/n)ⁿ  è maggiorato da 1/k! che a sua volta è non superiore a  1/2^k-1, per cui tale somma - tenuto conto del suo primo termine che è 1 - è maggiorata dalla somma 1+1/2⁰+1/2¹+...+1/2^n-1 = 1 + (1-1/2ⁿ)/(1-1/2) < 1+ 1/(1-1/2)=1+2=3 ; per gli altri valori di x si prende a piacere un numero naturale M>x  e, per n abbastanza grande perché sia 1+x/(nM) > 0  (cosa che accade da un certo n in poi dal momento che lim_n1+x/(nM) = 1 ), si ha  (1 + x/(nM) )^nM < (1 + M/(nM) )^nM = (1 + 1/n )^nM  < 3^M ,  per cui gli infiniti termini di indice nM della successione sono limitati superiormente da 3^M, che non dipende da n; ciò, insieme alla condizione di monotonia data in 1), porta alla limitatezza superiore della intera successione ;

3. per via di 1) e 2) la successione {(1 + x/n)ⁿ}_n converge per ogni x reale positivo;  si pone exp(x) := lim_n (1 + x/n)ⁿ ;

4. dal momento che {(1 + x/n)ⁿ}_n converge, tale successione è di Cauchy (sempre per ogni x reale non negativo);

5. se z è complesso, per via di 4) la successione {(1 + |z|/n)ⁿ}_n è di Cauchy;  notiamo che se n ed r sono naturali (con n ≠0), si ha: |(1+z/(n+r) )^n+r-(1+z/n )ⁿ | = | Σ_k=0...n+r c_n+r,k z^k - Σ_k=0...n c_n,k z^k| = | Σ_k=0...n c_n+r,k z^k + Σ_k=n+1...n+r c_n+r,k z^k - Σ_k=0...n c_n,k z^k| ≤ | Σ_k=0...n c_n+r,k z^k  -  Σ_k=0...n c_n,k z^k| + |Σ_k=n+1...n+r c_n+r,k z^k| = | Σ_k=0...n (c_n+r,k-c_n,k) z^k| + |Σ_k=n+1...n+r c_n+r,k z^k| ≤  Σ_k=0...n|c_n+r,k-c_n,k| |z|^k + Σ_k=n+1...n+r |c_n+r,k| |z|^k ; dal momento che c_n+r,k e  c_n+r,k-c_n,k sono non negativi (in quanto sono nulli per k=0 e k=1 e per altri k si ha  1-h/(n+r) > 1-h/n per h=1,...,k-1) l'ultima espressione coincide con quella analoga senza i valori assoluti sui coefficienti, ossia con  Σ_k=0...n (c_n+r,k-c_n,k) |z|^k + Σ_k=n+1...n+r c_n+r,k |z|^k =  Σ_k=0...n+r c_n+r,k |z|^k - Σ_k=0...n c_n,k |z|^k  = ( 1+|z|/(n+r) )^n+r - (1+|z|/n )ⁿ ; pertanto dal fatto che la successione {(1+|z|/n)ⁿ}_n è di Cauchy segue che anche la successione {(1+z/n)ⁿ}_n è di Cauchy e quindi converge; il suo limite si continua a denotare con la analoga notazione usata per l'argomento reale, ovvero exp(z) ;

6. se {z_n}_n  è una successione infinitesima (di numeri reali o complessi) allora si ha lim_n (1 + z_n/n)ⁿ =1 ;  infatti, ricordando la fattorizzazione  ( tⁿ - 1 ) = ( t - 1 ) (Σ_k=0...n-1 t^k)  e considerato un maggiorante M della successione {|z_n|}_n ,  si ha  |(1+z_n/n)ⁿ-1| = |z_n/n|·|Σ_k=0...n-1(1+z_n/n)^k| ≤ |z_n/n|·Σ_k=0...n-1|1+z_n/n|^k ≤ |z_n/n|·Σ_k=0...n-1(1+|z_n/n|)^k = |z_n/n|·Σ_k=0...n-1 (1+|z_n|/n)^k ≤ |z_n/n|·Σ_k=0...n-1(1+M/n)^k ≤ |z_n/n|·Σ_k=0...n-1(1+M/n)ⁿ ≤ |z_n/n|·Σ_k=0...n-1exp(M) = (|z_n|/n)·n·exp(M) =  |z_n|·exp(M)  e siccome tale ultima quantità tende a 0 si ha che anche |(1+z_n/n)ⁿ -1| tende a 0 ;

7. quanto visto in 6) discende anche dal fatto che nello sviluppo in somma di (1+z/n)ⁿ i primi due termini sono 1 e z (visto che  c_n,0=c_n,1=1) e che gli altri termini contano sempre di meno quanto più z è piccolo, per cui quanto più è piccolo z tanto più  (1+z/n)ⁿ   si confonde con  1+z  e, data la successione infinitesima {z_n}_n ,  si può sostituire la successione {(1+z_n/n)ⁿ}_n con la successione {1+z_n}_n che converge a 1; precisando rigorosamente tale cosa, se |z| < 1 e n è un numero naturale maggiore di 1 si ha |(1+z/n)ⁿ-(1+z)|=|Σ_k=2...n c_n,k z^k| < Σ_k=2...n |z^k|/k! = Σ_h=0...n-2 |z^h+2|/(h+2)! = Σ_h=0...n-2 (|z|²/2)·2|z^h|/(h+2)! = (|z|²/2)·Σ_h=0...n-2 2|z^h|/(h+2)! ≤ (|z|²/2)·Σ_h=0...n-2 |z^h|/3^h = (|z|²/2)·Σ_h=0...n-2 (|z|/3)^h = (|z|²/2)·[1-(|z|/3)^n-2+1]/(1-|z|/3) ≤ (|z|²/2)·1/(1-|z|/3) ≤ |z|² ; di conseguenza (ricordando la disuguaglianza triangolare  |a|-|b| ≤ |a-b| ) si ha |(1+z/n)ⁿ-1| - |z| ≤ |(1+z/n)ⁿ-1-z)| = |(1+z/n)ⁿ-(1+z)| ≤ |z|² e quindi |(1+z/n)ⁿ-1| ≤ |z|²+|z| , e riportando tale disuguaglianza per i z_n e per gli n tali che |z_n|<1 (ossia da un certo n in poi) si ha |(1+z_n/n)ⁿ-1| ≤ |z_n|²+|z_n| con tale ultima quantità infinitesima ;

8. se {z_n}_n è una successione di numeri complessi e  lim_n z_n = z ,  allora  lim_n (1+z_n/n)ⁿ = lim_n (1+z/n)ⁿ = exp(z); ciò segue dalla uguaglianza  (1+z_n/n)ⁿ=(1+z/n)ⁿ (1+((z_n-z)/(1+z/n)) /n )ⁿ  e dal fatto che {(z_n-z)/(1+z/n)}_n è infinitesima in quanto lo è  {z_n-z}_n ;

9. se z = x+yi, si ha:  (1+(x+iy)/n)ⁿ = (1+x/n)ⁿ  ( 1 + ( yi /(1+x/n) ) / n )ⁿ ; per n tendente all'infinito, il primo membro tende a exp(z) e nel secondo membro il primo fattore tende a exp(x) e il secondo, in virtù di 7) e del fatto che {yi/(1+x/n)}_n tende a yi,  tende a exp(yi) ;  pertanto vale la sguente formula (di Eulero): exp(x+yi)=exp(x)exp(yi); definendo le funzioni coseno e seno mediante le posizioni  cos(y) := Re(exp(yi))   e   sin(y) := Im(exp(yi)),  si ha:   exp(x+yi)=exp(x)[cos(y)+i sin(y)] ;

10. con procedimento identico a quello seguito in 8) ma con z₁ al posto di x e z₂ al posto di yi , si prova che exp porta somme in prodotti, ossia:   exp(z₁+z₂)=exp(z₁)exp(z₂) ;

11. in 7) si è visto che per z sufficientemente piccolo ( |z|<1 ) e n naturale non nullo si ha  |(1+z/n)ⁿ-(1+z)| ≤ |z|² ; ciò, facendo tendere n all'infinito, implica che |exp(z) - (1+z)| ≤ |z|²  e quindi | (exp(z)-1)/z  - 1 | = |exp(z) - 1 - z| / |z| ≤ |z| ; di conseguenza il rapporto  (exp(z)-1)/z  tende a 1 quando z tende a 0, ossia exp(z)-1 si confonde con z quando z è piccolo;

12. da quanto detto in 9) e in 11) deriva la importante conseguenza che  lim_t->0 (exp(it)-1)/t = i  e  quindi che lim_t->0 (cos(t)-1)/t = 0   e  lim_t->0 sin(t)/t = 1 ;

13. con ragionamento simile a quello seguito in 7), ossia separando un tratto iniziale dello  sviluppo in somma  di (1+z/n)ⁿ  dal resto, si ricava (separando il tratto iniziale dei primi tre termini dello sviluppo in somma dalla somma degi addendi successivi) che, per n naturale maggiore di 2 e |z|<4,  |(1+z/n)ⁿ - (1 + z + c_n,2 z²)| < (|z|³/3!)/(1-|z|/4)) = (2/3)|z|³/(4-|z|). Facendo tendere n all'infinito (1+z/n)ⁿ tende a exp(z) e  c_n,2 tende a 1/2  (osserviamo che in generale, per k fissato,  c_n,k  tende a 1/k! quando n tende a infinito), per cui |exp(z) - (1 + z + z²/2)| ≤ (2/3)|z|³/(4-|z|) .  In generale (e sempre con lo stesso procedimento) si prova che per ogni m naturale e per |z|<m+2 si ha la maggiorazione |exp(z) - Σ_k=0...m z^k/k! | ≤ (|z|^m+1/(m+1)!)/(1-|z|/(m+2)) , il che comporta (facendo tendere m all'infinito e in virtù del fatto che il termine maggiorante è infinitesimo per m tendente a infinito)  per ogni z la validità dello sviluppo in serie exp(z) = Σ_k=0...∞ z^k/k! .