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ancóra sull'esponenziale naturale |
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clicca sul pulsante : |
| prendiamo un punto a = ( ax , ay ) = ( h , k ) "vicino" al punto (0,1) |
| suddividiamo l'asse delle ascisse con i punti n h (con n interi) |
| indichiamo con Zh l'insieme dei numeri della suddetta suddivisione |
| ipotizziamo che una funzione f definita su Zh sia tale che : |
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f( 0 ) = 1 ; f( h ) = k ; f( x+h ) = f( x ) k , per ogni x in Zh |
| a parole: f passa per (0,1) e (h,k) e
all'incrementare la x di h f(x) viene moltiplicata per k |
| ne deriva che f( n h ) = k n . Posto x = n h , si ha f( x ) = k x / h . |
| Poniamo 1 + p = ay = k : si ha f( x ) = [ (1 + p) 1 / h ] x |
| quindi f è l'esponenziale di base (1+p) 1 / h . |
| Se avviciniamo il punto a al punto (0,1)
l'esponenziale f varia secondo il tipo di avvicinamento di a al punto (0,1) e "intorno" a (0,1) f diventa "instabile" . |
| Proviamo a far tendere a al punto (0,1) con a sulla retta y = 1+x |
| Ciò significa che ay = 1 + ax , ossia k = 1 + h . |
| in tal caso si ha f( x ) = [ (1 + h) 1 / h ] x e ... |
| ... se prendiamo h = 1/n otteniamo (1 + h) 1/h = (1 + 1/n) n |
| Quando h tende a 0, a, vincolato alla retta, tende a (0,1) ... |
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... e f( x ) tende a e x ; il segmento verticale in figura è (1,0)_(1,e) |
| Cosa accade se l'avvicinamento è effettuato sulla retta y=1+m x ? |
Nella seguente figura si tratta la
risposta all'ultima domanda ( muovi b : m=bx è la pendenza di
y=1+mx):
f traccia il grafico di una funzione che approssima la
funzione
e mx quando il punto k tende a (0,1) lungo la retta;
il segmento verticale congiunge
il punto (1,0) con il punto (1, em)
muovi c in orizzontale ( eventualmente
attiva Plot )
***
Nella seguente figura si presenta la stessa approssimazione vista della figura precedente, ma non tramite funzioni approssimanti esponenziali, bensì tramite spezzate di segmenti congiungenti termini di successioni (ogni spezzata approssimante è ottenuta congiungendo i termini successivi di una successione; ciò diventa evidente allontanando il punto d dall'asse delle ordinate)
***
approssimazione dell'esponenziale naturale nell'intervallo [0,1]
( premi Step per aumentare il numero naturale n e Clear per ripristinarlo a 1 )
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Se rappresentiamo la funzione reale x -> f(x) di variabile reale x e a valore reale f(x) non con il suo grafico costituito dai punti ( x, f(x) ), bensì inquadrandola nel piano complesso e rappresentando f(x) sull'asse reale, otteniamo una figura che permette di fare da ponte con l'estensione delle funzioni esponenziali dalla retta reale al piano complesso. Nella seguente figura si riporta una delle figure di sopra con l'aggiunta di un "interruttore" (il punto a) che fa passare da una rappresentazione all'altra (a seconda che il punto a stia sopra o sotto l'asse delle ascisse). Notare come dal punto (0,1) si passa alla ordinata di tale punto, ossia 1, che però, essendo reale, è rappresentata dal punto (1,0) ; pertanto nel campo complesso è ad 1 che dobbiamo far avvicinare un punto k per generare tramite le potenze di k un'esponenziale (in concordanza col fatto che k0=1 ).
muovi c in orizzontale ( il
punto f è la funzione approssimante l'esponenziale calcolata nell'ascissa di
c )
Nella seguente figura si fa tendere il punto k al punto 1 lungo una semiretta; tale semiretta viene condotta a partire dal punto 1 in base ad un punto b che ne stabilisce l'orientamento; scelto un tale punto k si considerano tutte le sue potenze kt con t fra 0 e un massimo che dipende da quanto k è vicino a 1 (tanto più k è vicino a 1 tanto più tale massimo è elevato): scelto un valore della variabile indipendente cx tale massimo è preso pari a cx/dx , dove dx è il rapporto fra i vettori k-1 e b. L'esponenziale cui ci si approssima è la funzione cx -> exp( b cx ) . Muovi b per variare la semiretta e c, in orizzontale, per far variare cx e quindi considerare porzioni più grandi della funzione approssimante. Prendendo cx=1 si parte da k0=1 per arrivare a k1/dx ossia ( 1 + b dx )1/dx , quantità che per dx tendente a 0 tende a eb .
La stessa approssimazione, ma con spezzate (quindi successioni, e in tal caso si ha a che fare solo con potenze di k con esponente naturale, ossia con potenze ( 1 + b/n)r , con n numero naturale non nullo e r numero naturale ) è data nella figura seguente:
muovi c in orizzontale ( eventualmente
attiva Plot )
***
approssimazione dell'esponenziale immaginario exp(it) nell'intervallo t ∈ [0,1]
(
premi Step per aumentare il numero naturale n e Clear per ripristinarlo a 1 )
approssimazione di exp(at), con a complesso, nell'intervallo t ∈ [0,1]
( fissa a e premi Step per aumentare il numero naturale n e Clear per ripristinarlo a 1 )
***
se b = x + y i , allora exp(b) è sulla semiretta dei multipli di exp(y i) con fattore positivo
( fissa b e premi la barra spaziatrice per aumentare il numero delle suddivisioni e il tasto c per ripristinarlo a 1 ; quando si sarà raggiunto un numero di passi tale che g=hn=(1+b/n)n -> exp(b) sia visibilmente multiplo di f=kn=(1+iy/n)n -> exp(yi) , allora agisci sulle frecce a destra e a sinistra per spostare b in orizzontale; yi rimane costante e varia il rapporto fra g e f , rapporto che fra poco determineremo; quindi spostando b su una retta orizzontale exp(b) descrive la semiretta che parte da 0 e passa per exp(iy), che puoi plottare usando il tasto p )
***
se b = x + y i , allora exp(b) è sulla circonferenza di centro 0 e raggio exp(x)
( fissa b e premi la barra spaziatrice per aumentare il numero delle suddivisioni e il tasto c per ripristinarlo a 1 ; man mano che che h e k avvicinano sempre di più a 1 si hanno le approssimazioni sempre più esatte g -> exp(b) e f -> exp(yi) ; quando h e k saranno confusi con 1. agisci sulle frecce in alto e in basso per spostare b in verticale; x rimane costante e g varia sulla circonferenza di raggio f , che puoi plottare usando il tasto p)
Combinando le informazioni delle ultime due figure deduciamo (dalla prima informazione) che exp(b) = p exp(iy) per un certo p positivo e quindi |exp(b)| = |p exp(iy)| = |p| |exp(iy)| =|p| = p (in quanto l'esponenziale di un numero immaginario puro è sulla circonferenza unitaria centrata nell'origine) , e (dalla seconda informazione) che |exp(b)| = exp(x) ; quindi p=exp(x) e, in definitiva: exp(b) = exp(x) exp(iy) , ovvero exp(x+yi)=exp(x) exp(iy) .
Possiamo acquisire direttamente tale risultato esaminando la seguente figura, in cui nella configurazione iniziale (corrispondente a non effettuare nessuna suddivisione) si ha g=1+b e f=1+iy. Agendo sulla barra spaziatrice per suddividere in un certo numero n di parti sia il segmento da 1 a 1+b sia il segmento da 1 a 1+iy (ossia i segmenti che coincidono con 1_g e 1_f nella configurazione iniziale) si hanno h=1+b/n , g=(1+b/n)n , k=1+iy/n , f=(1+iy/n)n ; muovendo c portandolo verso l'asse delle ordinate si modificano g e f facendo loro assumere le posizioni intermedie g=(1+b/n)r , e f=(1+iy/n)r per i vari numeri naturali r da n a ritroso fino a 0 (quindi per r=1 ritroviamo h e k); agendo sull'interruttore d portandolo sotto l'asse delle ascisse si sostituisce la sequenza dei punti (1+iy/n)r con quella dei punti ((1+b/n)/(1+x/n))r che sono potenze del punto (1+b/n)/(1+x/n) multiplo con parte reale 1 di (1+b/n) (per ogni r ognuno di tali punti ((1+b/n) / (1+x/n))r = ((1+b/n)r / (1+x/n))r è multiplo di (1+b/n)r ); quindi quando l'ascissa di c raggiunge (o supera) 1, con d sotto l'asse delle ascisse, si ha f = ((1+b/n)/(1+x/n))n = ((1+b/n)n / (1+x/n))n e tale punto, al tendere di n all'infinito, tende a exp(b)/exp(x) e, come visibile nella figura, allo stesso limite di (1+iy/n)n , ossia exp(iy) (per verificarlo graficamente usa l'interruttore d per "switchare" fra una scelta e l'altra di f e il tasto di plottaggio p ).