le isometrie inverse (o invertenti)

• coniugazione seguita da roto-traslazione: se, prima di eseguire una roto-traslazione, si esegue un ribaltamento intorno all'asse reale (ossia la isometria conj), si ottiene quel che si chiama una isometria inversa (o invertente). Pertanto, una isometria inversa è una trasformazione del tipo: T_vR_uconj   con uU e vC
   
• le isometrie inverse e la sovrapponibilità di figure piane uscendo dal piano: se una figura F viene trasformata nella figura F' da un'isometria invertente, si ha che F e F' sono della stessa forma e grandezza, ma non è possibile portare F a sovrapporsi a F' se non uscendo dal piano
   
• formula di un'isometria inversa: ricaviamo subito, dalla definizione: (T_vR_uconj)(z) = u•z + v
   
• roto-traslazione seguita da coniugazione: se la coniugazione si opera dopo la roto-traslazione si ha:
  (conjT_vR_u)(z) = u•z + v = u•z + v = u•z + v = (T _vR_u)(z), ossia:   conj T_v R_u = T _v R_u conj
   
• proprietà delle isometrie inverse:

• composizione di isometrie inverse: la composta di due isometrie inverse è una isometria diretta. Infatti:
  (T_v'R_u'conj) (T_vR_uconj) = (T_v'R_u'conj) (conjT_v R_u) = (T_v'R_u') (T_v R_u)  e quest'ultima è la composta di due roto-traslazioni e quindi, come visto, è una roto-traslazione
• coniugazione e altri ribaltamenti: la coniugazione è una isometria inversa, in quanto conj = idconj (e l'identità è una isometria diretta). E' però più interessante osservare che se si vuol ribaltare un punto z non intorno all'asse reale, ma intorno a una generica retta contenente un punto unitario u, basta ruotare z con la rotazione R_1/u=R_u (che porta u in 1), poi effettuare la coniugazione, e infine ruotare con la rotazione R_u (che porta 1 in u). Si ottiene così la cosiddetta simmetria assiale intorno alla retta Ru, data dalla formula: S_u := R_u conj R_1/u.
  Anche questa trasformazione è una isometria invertente (provarlo come esercizio)
• inversione di una isometria invertente: l'isometria invertente   T_vR_uconj   ha come trasformazione inversa l'isometria invertente   conjR_1/uT_-v
• inversione dell'orientamento: dati tre punti A, B, C e una isometria invertente che li porti rispettivamente in A', B', C', i percorsi ABC e A'B'C' sono uno orario e l'altro antiorario, oppure uno antiorario e l'altro orario (brevemente si dice che sono discordi). In effetti basta osservare che questo scambio di versi di percorrenza è effettuato da conj e che la componente rototraslativa di una isometria invertente non fa altro che mantenere il verso che conj ha invertito.