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cambiamento della base del logaritmo

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• Partiamo adesso da una situazione concreta: su una calcolatrice abbiamo la possibilità di usare la funzione log₁₀, ma dobbiamo calcolare log₂3. Ci viene in aiuto la importante proprietà del cambiamento di base: log_b x = ( log_a x ) / ( log_a b ). Infatti questa ci fa risolvere il problema : log₂ 3 = ( log₁₀ 3 ) / ( log₁₀ 2 ). Se sulla calcolatrice abbiamo solo la funzione logaritmo naturale  ln, non c'è problema: log₂ 3 = ( ln 3 ) / ( ln 2 ). Ad esempio, nella  calcolatrice PGC, che è alla base di tutte le figure interattive finora viste in questa unità sui logaritmi, log  è sinonimo di  ln, per cui  log_ax  si digita come  (log x)/(log a).
   

• La proprietà in esame deriva in maniera quasi immediata dalla proprietà del logaritmo di una potenza: log_a(b^c) = c·log_ab.  Prendendo in essa   c=log_b x  (quindi  b^c=x), ricaviamo  log_a x = log_a b^c = log_b x  ·  log_a b = log_a b  ·  log_b x. Basta adesso invertire questa formula e ottenere: log_b x = ( log_a x ) / ( log_a b ). (Nota)
   

• Illustriamo il processo con la figura: in essa sono rappresentate  exp_a,  exp_b, log_a,  log_b; k  è quel numero tale che  a^k=b,   quindi  k=log_ab. Adesso scegliamo un'ascissa x (in figura è il punto c che ha per ascissa x e può essere mosso per modificare la x, inizialmente posta uguale a 1); come si passa, rimanendo sulla stessa retta orizzontale, dal generico punto  (x,b^x)∈exp_b al corrispondente punto (k·x,b^x)=(k·x,a^kx)∈exp_a, così, per simmetria rispetto alla bisettrice  y=x, si passa (rimanendo sulla stessa retta verticale) da  (x,log_bx)∈log_b  a  (x,k·log_bx)∈log_a  , ossia:  log_ax = k·log_bx = log_ab · log_bx.
   

• Questa proprietà esprime anche che le funzioni log_a  e  log_b sono la prima multiplo della seconda con un fattore di moltiplicazione pari a log_ab. Viceversa se prendiamo un numero  h  e consideriamo la funzione  h·log_b, questa sarà esattamente la funzione log_a  con la base  a  ricavabile dalla relazione  log_ab=h, che comporta  a^h=b  e quindi  a=b^1/h. Quest'ultima osservazione permette di dare una conclusione a un  approfondimento  iniziato in una sezione precedente.