A proposito di proprietà strutturali, accenniamo al fatto che una funzione  g  che:

  • porta prodotti in somme

  • ha grafico continuo

  • non è identicamente nulla

    •

    deve necessariamente avere le seguenti caratteristiche:

  • non può essere definita nello zero ;

  • se è definita nell'insieme dei numeri reali positivi, deve coincidere con una funzione logaritmica ;

  • se è definita anche sui numeri reali negativi, vale l'uguaglianza  g(-x)=g(x),  quindi g(x)=loga|x| per un'opportuna base a.

    •

    Per il momento puoi renderti conto dei seguenti fatti:

    1.  g non può essere definita nello 0 perché se lo fosse si avrebbe g(0)=g(0·x)=g(0)+g(x) e quindi g(x)=g(0)-g(0)=0 indipendentemente da quale sia x  ( cioè la  g  sarebbe identicamente nulla );

    2. supponendo che  g  sia definita in  R+, e fissata a piacere una base a∈R+-{1}, la funzione  t → g(at)  porta somme in somme e quindi è una proporzionalità diretta del tipo  g(at)=k·t, per cui  g(x)=k·logax, ossia  g  è  un multiplo di  loga;

    3. se  g  è  definita in  R-{0}  ( cioè su tutti i numeri reali tranne che in 0 ),  si ha in primo luogo   g(1)=g((-1)·(-1))=g(-1)+g(-1), ossia  g(-1)=0  e quindi, per un generico  x,   g(-x)=g((-1)·x)=g(-1)+g(x)=g(x). Quindi:   g(x)=g(|x|).

    Vedrai successivamente che un multiplo di una funzione logaritmica è anch'esso una funzione logaritmica (con la qual cosa resterà provato quanto sopra detto).