-
In figura abbiamo, come d'abitudine, i punti
a=(0,a) e
k=(1,a); compare
anche, come nella sezione precedente, il punto d la cui ascissa è
2 (per il momento non spostarlo). Clicca sulla figura e poi premi più volte la barra
spaziatrice:
il punto h, partendo dalla posizione
iniziale (0,1), si sposta a scatti in modo che la
sua ascissa prenda i valori
1/2, 2, 3/2, 4, 5/2, 6, ... ossia si sposta verso destra
(quindi nella direzione dell'ascissa di d) e
le sue ordinate sono tali che h resta sempre
su una curva che passa per (0,1) e per k
e che puoi evidenziare portando il punto c
al di sopra dell'asse delle ascisse (è proprio la
curva esponenziale che stiamo poco
a poco costruendo).
-
Puoi azzerare tutto col tasto c (dalla
tastiera) e ripetere la pressione della barra spaziatrice; inoltre,
portando il punto c della figura più in
basso o più in alto puoi evidenziare altre 8 modalità di rappresentazione
(se c si distanzia dall'asse delle ascisse di
una unità i punti vengono collegati, se di due unità vengono visualizzate
solo le ordinate, se di tre unità vengono combinate le due precedenti
visualizzazioni, se di quattro o più unità vengono visualizzate le
ordinate e i gradini effettuati nel passaggio da un punto al successivo;
secondo che c sta al di sotto o
al di sopra dell'asse delle ascisse, si visualizza o meno la curva di cui
parlavamo). Ti conviene lasciare ora
c in una posizione che permetta la
visualizzazione della storia del punto
h)
-
Quello che accade al punto
h=(x,f(x)) è che la
x si sposta con
passo di 1/n e si può variare n
allontanando d dall'asse delle ordinate
(provaci, col mouse!) e anche passare a -1/n
portando d a sinistra dell'asse delle
ordinate (prova anche questo!). Quando l'ascissa di
d è pari a 1 si ottiene la successione esponenziale bilatera
costruita in precedenza (corrispondente a n=1).
Quando il denominatore n non è 1 si interpola la
successione esponenziale bilatera.
-
Il criterio con cui si effettua l'interpolazione
è questo: aumentando l'ascissa
x di 1/n
l'ordinata f(x+1/n)
viene moltiplicata sempre per un certo valore (indichiamolo con
b), che non dipende da x (anche se
dipende dal passo 1/n), ossia:
f(x + 1/n) = f(x) · b
( con b dipendente da n , ma indipendente da x)
e possiamo determinare b facendo
assumere a x successivamente i valori
0, 1/n, 2/n, ..., n/n=1 , trovando così
:
f(1/n)=f(0)·b=1·b=b ,
f(2/n)=f(1/n)·b=b·b=b2 , ... , a=f(1)=f(n/n)=b·...(n
fattori)...·b)=bn
se a non è
negativo, possiamo ricavare b, che risulta pari alla
radice n-sima di
a :
| n |
a
|
= b ( indicheremo tale radice con la notazione,
fra l'altro più comoda, a1/n
in virtù del fatto che f(1/n)=b ); |
|
\ |
con a negativo potremmo ricavare
b solo per n dispari, mentre
l'interpolazione dev'essere effettuata per tutti i
numeri razionali (quindi anche per quelli
che, come 1/2, hanno denominatore pari). Perciò avremo:
f(0)=0 , f(1/n)=a1/n
, f(2/n)=(a1/n)2 , ... e in generale
f(m/n)=(a1/n)m (con m
naturale).
Per effettuare l'interpolazione nel semiasse negativo delle
ascisse, ossia per definire f sui numeri razionali negativi,
basterà, come abbiamo già fatto in precedenza per l'estrapolazione,
invertire la formula
f(x+1/n)=f(x)·b scrivendola nella forma
(equivalente) f(x)=f(x+1/n)/b,
per la qual cosa dobbiamo supporre a diverso da 0 (e quindi, per
l'ulteriore precedente condizione di non negatività: a>0). In tal modo determiniamo:
f(-1/n)=f(0)/b=1/b ,
f(-2/n)=f(-1/n)/b=1/b2 , ... e in generale
f(-m/n)=1/bm=1/(a1/n)m=(a1/n)-m.
Se definiamo la potenza con esponente frazionario
ponendo am/n=(a1/n)m
per ogni m intero
e n naturale non nullo
(v. nota),
avremo in definitiva definito f su
tutto l'insieme Q dei
numeri razionali ottenendo f(x)=ax
per ogni x∈Q.
Sottolineiamo ancora una volta la condizione: a>0.
Chiameremo tale funzione: funzione esponenziale razionale in base
a.
Dal momento che due numeri razionali x
e x' sono sempre
esprimibili come frazioni con lo stesso denominatore, si ha:
ax+x'=a(m/n)+(m'/n)=a(m+m')/n=(a1/n)m+m'=(a1/n)m·(a1/n)m'=am/n·am'/n=ax·ax'. Approfondimento.
|