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esponenziale della somma

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• Occupiamoci dell'interpretazione geometrica della proprietà fondamentale di una funzione esponenziale, ovvero:
     f(x+x')=f(x)·f(x'),  ovvero  exp_a(x+x')=exp_a(x)·exp_a(x'), ovvero  a^x+x'=a^x·a^x'.
  In parole: l'esponenziale, in una data base, della somma di due numeri coincide con il prodotto degli esponenziali (nella stessa base) degli addendi.
  >>  Dal momento che si tratta solo dell'interpretazione grafica di una proprietà che abbiamo già sufficientemente esaminato in precedenza dal punto di vista simbolico (non per nulla è la proprietà principale di una funzione esponenziale), l'omissione del suo studio non pregiudica  il passaggio alle sezioni seguenti.
   

• La funzione rappresentata in figura è f(x)=a^x , con a>0 ; illustriamo geometricamente la proprietà  f(b+c) = f(b)·f(c), ossia:     a^b+c = a^b · a^c .
  Si riporta l'ordinata f(b) di  h=(b,f(b)) parallelamente all'asse delle ascisse fino ad incontrare la retta verticale  x=1. Si ottiene (1,f(b)), e per tale punto si conduce la retta passante per l'origine, di equazione y=f(b)·x .
  D'altra parte si riporta l'ordinata f(c) del punto  k=(c,f(c))  sull'asse delle ordinate, ottenendo il punto  (0,f(c))  e si riporta questo sul punto (f(c),0) dell'asse delle ascisse tramite un segmento parallelo al segmento congiungente (1,0) con (0,1) (le rette parallele a tale segmento fanno da ponte fra i due assi cartesiani).
  Dal punto (f(c),0) così trovato si sale in verticale fino ad incontrare nel punto (f(c),f(b)·f(c)) la retta per l'origine determinata prima. Infine si riporta quest'ultimo punto dall'ascissa f(c) all'ascissa  n=b+c, determinando, in tal modo, il punto  m=(n,f(b)·f(c))=(b+c,f(b)·f(c))=(b+c,f(b+c)), che sta su  f.
   

• Un altro modo per esprimere questa proprietà è il seguente: 
           se    h=( x , y ) ∈ exp_a    e    k=( x' , y' ) ∈ exp_a  ,     allora    m=( x + x' , y · y' ) ∈ exp_a .             Approfondimenti: 1 , 2