incrementi

funzione incrementale  g   associata a una funzione  f  e a un valore  x  dell'argomento ;  operatore   Δ
g  è definita dalla formula   g(p)=f(x+p)-f(x) ;   in genere g(p) dipende da x oltre che dall'incremento p, ossia g(p) è funzione dell'incremento, ma la funzione g stessa varia al variare della scelta di x
nella seguente  Error: Cannot run the Java applet.   agendo su d si modifica x e agendo su c si modifica p; il punto g descrive il grafico della funzione incrementale di  f  con valore  x   dell'argomento; come si vede, la funzione g cambia al variare di x
Nell'espressione  f(x+p)-f(x)   sono presenti le due variabili  x  e  p, entrambe variabili indipendenti e che variano indipendentemente l'una dall'altra; la variabile p è l'incremento della x (nel passaggio da x a x+p) e viene usualmente indicato con il simbolo Δx (in cui la lettera "delta" ricorda la lettera "d" di "differenza"); pertanto  x  e  Δx sono entrambe variabili indipendenti.   Δ  è detto "operatore differenza" .
Δx, che è detta "variabile incrementale della variabile x", è indipendente dalla variabile x.
La espressione f(x) è una variabile dipendente dalla  variabile x, mentre l'espressione  f(x+Δx)-f(x)  è una variabile dipendente dalle due variabili x e Δx.
si pone:    Δf(x) = f(x+Δx) - f(x)

l'espressione Δf(x) deve essere interpretata come  Δ( f(x) ) ,  ossia il simbolo  Δ  agisce sull'espressione  f(x)  (contenente la sola variabile x) per produrre una nuova espressione contenente sia la variabile x sia la corrispondente variabile incrementale Δx  (e per tale motivo  Δf(x) è detta  "espressione incrementale nella variabile x" ).  Ad esempio:            Δ( x2 ) = (x + Δx)2 - x2 = 2xΔx + (Δx)2 .

nell'espressione  f(x) la f (da sola) indica la funzione, mentre l'espressione f(x) è detta "espressione funzionale nella variabile x" o anche "forma funzionale nella variabile x". Potremmo applicare la stessa funzione f ad un'altra variabile, ad esempio t, e ottenere l'espressione funzionale f(t) nella variabile t. Sarebbe bene distinguere sempre fra "funzione" ed "espressione funzionale"

l'operatore  Δ  può essere applicato anche al solo simbolo di funzione f per ottenere una nuova funzione  Δf , ponendo:  (Δf)(x)(p) = f(x+p)-f(x) ; ciò significa che ad ogni x  la funzione  Δf associa non un numero, bensì la funzione incrementale  g ,  associata alla f e al  valore x dell'argomento di f,  che abbiamo detto essere quella che associa a ogni p il valore  f(x+p)-f(x) :  quindi  (Δf)(x)=g (e fra l'altro da ciò viene esplicitata la dipendenza di g dallo x scelto). Pertanto  (Δf)(x) non è un numero, ma un'intera funzione.

possiamo riassumere quanto detto ai due punti precedenti con la seguente uguaglianza, che mette in relazione la funzione  Δf con l'espressione Δ(f(x)) :  (Δf)(x)( Δx ) = f(x+Δx)-f(x) =  Δ( f(x) )
ultima osservazione, questa volta di carattere geometrico: la funzione incrementale  g = (Δf)(x) , associata alla funzione f e al valore x dell'argomento, ha  (v. la figura sopra)  un  grafico ottenuto per traslazione dal grafico della funzione f con la traslazione che porta il punto (x , f(x) ) nell'origine, il che equivale a considerare degli assi ausiliari centrati, invece che nell'origine, nel punto ( x , f(x) ) .
Un'applicazione:   funzioni a incrementi lineari :   a incrementi uguali dell'ascissa (ossia dell'argomento della funzione), corrispondono incrementi uguali dell'ordinata (ossia del valore della funzione).