Le applet di w3.romascuola.net/gspes/c realizzate con P.U.G.
Oggetti primitivi: C ; 0 , + , - , 1 , R⁺ , · , / , i
0 ∈ C
+ : C×C → C
- : C → C
1 ∈ C
R⁺ ⊂ C
· : R⁺×C → C , · : R⁺×R⁺ → R⁺
/ : R⁺ → R⁺
i ∈ C
Assiomi:
0 , + , - : commutatività, neutralità, associatività, opposizione
1 , R⁺ : positività, chiusura additiva reale, densità, completezza
· , / : neutralità, distributività, commuto-associatività, inversione
i : indipendenza, bidimensionalità
Punto origine (zero) e addizione
a+b = b+a (assioma di commutatività additiva) , a+0=a (assioma di neutralità di 0)
opposizione
operatore di opposizione: C → C : a → - a
assioma di opposizione: a+(-a)=0
sottrazione ( muovi l'interruttore d verso destra )
definizione (sottrazione): a - b := a + ( - b )
definizione (vettori): b↑a = vettore( b , a ) := a - b
unità, verso positivo, verso negativo, asse reale, segmento unità
( muovi gli "interruttori a, b, c in orizzontale )
]0,∞[ := R⁺ ∋ 1 ( assioma di positività: 1 ∈ R⁺ , 0 ∉ R⁺ )
definizioni:
[0,∞[ := ]0,∞[ ∪ {0}
]-∞,0[ = R⁻ := - R⁺
]-∞,∞[ = R := R⁺ ∪ R⁻ ∪ {0}
R* := R⁺ ∪ R⁻
]-∞,1[ := R⁻ + 1
]0,1[ := ]-∞,1[ ∩ ]0,∞[
[0,1[ := ]0,1[ ∪ {0}
]0,1] := ]0,1[ ∪ {1}
[0,1] := ]0,1[ ∪ {0,1}
]a,∞[ := ]0,∞[ + a
[a,∞[ := [0,∞[ + a
x < y :⇔ y ∈ ]x,∞[ ⇔ y-x ∈ R⁺
x ≤ y :⇔ y ∈ [x,∞[ ⇔ y-x ∈ [0,∞[
x < y ⇔ x + z < y + z
x ≤ y ⇔ x + z ≤ y + z
chiusura additiva reale assioma: a∈R⁺ , b∈R⁺ → a+b∈R⁺ , a-b∈R .
Per gli assiomi di densità e completezza vedi qui .
moltiplicazione e proporzionalità i triangoli Δ(0,1,a) e Δ(0, c, c·a) sono detti "proporzionali";
in simboli: Δ( 0 , 1 , a ) ∝ Δ( 0 , c , c·a )
moltiplicazione, versi, semirette, rette ( muovi a, c, d )
assioma di neutralità di 1: 1·a = a , x·1 = x
definizione (estensione dell'ordine di scrittura dei fattori): a·x := x·a
osservazioni grafiche (e definizioni estensive): 0·a := 0 , (-x)·a := - x·a
semirette e rette per l'origine:
] 0 , a > := < a , 0 [ := a·R⁺ = a · ]0,∞[
[ 0 , a > := < a , 0] := a · [0,∞[
] 0 , - a > := < - a , 0 [ := a·R⁻ = a · ]-∞,0[ = - a · ]0,∞[
[ 0 , - a > := < - a , 0 [ := a · ]-∞,0] = - a · [0,∞[
< 0 , a > := < a , 0 > := R·a = a·R
semirette e rette traslate: d + a·R⁺ , d + a·R⁻ , R·a + d
semiretta da un punto per un punto
] a , b > := < b , a [ := a + (b-a)·R⁺ = a + (b-a) · ]0,∞[
[ a , b > := < b , a ] := a + (b-a) · [0,∞[
retta per due punti
< a , b > := < b , a > := a + R·(b-a)
segmenti ( muovi l'interruttore d in orizzontale per togliere gli estremi )
[ a , b ] := [ b , a ] := a + [0,1]·(b-a)
] a , b ] := [ b , a [ := a + ]0,1]·(b-a)
[ a , b [ := ] b , a ] := a + [0,1[·(b-a)
] a , b [ := ] b , a [ := a + ]0,1[·(b-a)
associatività dell'addizione ( muovi in su e in giù il punto d )
assioma di associatività additiva: ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Elemento neutro per la moltiplicazione:
1) neutralità di 1 a sinistra 1 · a = a ( prima parte dell'assioma di neutralità di 1 )
2) neutralità di 1 a destra c · 1 = c ( seconda parte dell'assioma di neutralità di 1 )
Assiomi di distributività:
1) distributività a sinistra c · ( a + b ) = c · a + c · b
2) distributività a destra ( a + b ) · c = a · c + b · c
Osservazione grafica: prodotto di due numeri reali b = c + (b-c) , a·b = a·c + a·(b-c)
chiusura moltiplicativa di R⁺ : a∈R⁺ , b∈R⁺ → a·b∈R⁺ .
Conservazione moltiplicativa della disuguaglianza: z > 0 → ( x < y ↔ x · z < y · z )
moltiplicazione, divisione, inversione ( quando a va in c , h=k·a va in 1; quindi k·c=1 )
operatore di inversione: R⁺ → R⁺ : c → /c
assioma di inversione: (/c) ∙ c = 1
estensione dell'inversione: R* → R* , /(-c) := -(/c)
divisione: a / c := a ∙ ( /c ) [ c ∈ R* ]
proprietà commuto-associativa assioma: (a·b)·c = b·(a·c)
⇒ (ponendo c=1) a·b = b·a (proprietà commutativa della moltiplicazione)
⇒ b·(a·c) = (b·a)·c (proprietà associativa della moltiplicazione)
potenze xⁿ alternate ai punti a·xⁿ ( n = 0, 1, 2, 3, ... )
( clicca sull'applet e poi premi la barra spaziatrice )
potenze x⁻ ⁿ alternate ai punti a·x⁻ ⁿ ( n = 1, 2, 3, ... )
( clicca sull'applet e poi premi la barra spaziatrice )
moltiplicazione & divisione ... e grafici di funzioni
l'unità immaginaria ( non del tutto "immaginaria" )
assioma di indipendenza: i ∉ R
coordinate di un punto
assioma di bidimensionalità: C = R + R·i = R + I ( I := R·i = asse immaginario )
operatore Re : C→R : Re(x+yi) := x
operatore Im : C→R : Im(x+yi) := y
operatore "virgola" : R×R→C : x , y := x + y·i ( abbreviato in x + y i )
indipendenza e bidimensionalità
le 8 isometrie coordinate
Ad ogni punto a=x+yi vengono associati, su un primo rettangolo:
il punto stesso id(a) := a
il suo opposto -id(a) = -a = -x-yi
il suo coniugato conj(a) := x-yi
il suo anticoniugato -conj(a) = conj(-a) = -x+yi
e su un secondo rettangolo:
il suo ortonormale diretto (o antiorario) ort(a) = -y+xi
il suo ortonormale orario (o antiortonormale) -ort(a) = ort(-a) = y-xi
il suo inverso inv(a) := y+xi = ort(conj(a)) = - conj(ort(a))
il suo antiinverso -inv(a) = inv(-a)
ottenendo otto trasformazioni di C, suddivise in:
4 simmetrie assiali: conj, -conj, inv, -inv
4 rotazioni: id, ort, -id, -ort
che possono essere tutte ottenute dalle sole due conj e ort, in quanto ort(ort(a))=-a.
Ognuna di queste otto funzioni ha le due proprietà (dette "proprietà di linearità"):
f(x·a) = x·f(a) e f(a+b)=f(a)+f(b).
Le stesse proprietà ha una qualunque funzione suo multiplo:
(k·f)(x·a) = k·f(x·a) = k·x·f(a) = x·(k·f)(a)
e anche qualunque somma di due funzioni tra queste otto:
(f+g)(a+b) = f(a+b)+g(a+b)=f(a)+f(b)+g(a)+g(b)=(f+g)(a)+(f+g)(b).
In particolare tra le funzioni ottenute per somma e moltiplicazione ci sono Re e Im :
Re(a) = ( a + conj(a) )/2 ovvero Re = (1/2)id + (1/2)conj
Im(a) = ( a - conj(a) )/2 ovvero Im = (1/2)id + (-1/2)conj .
Tutto ciò dipende dal fatto che conj e ort godono delle proprietà di linearità,
e queste proprietà si conservano per composizione tra funzioni.
ortonormalità ort(1) := d , ort(d) := -1 , ort(x·1+y·d) := x·ort(1)+y·ort(d) = -y+x·d
ortogonalità e unità immaginaria
... quando la perpendicolarità ... va storta
( ovvero quando una metrica ... irrompe nell'affine )
Il prodotto di due numeri complessi (ossia elementi di C) può essere introdotto seguendo tre punti di vista,
che conducono allo stesso risultato:
I ) estensione della proporzionalità di triangoli :
ponendo a = x+yi ,
Δ( 0 , 1 , a ) = Δ( 0 , 1 , x+yi ) = Δ( 0 , 1 , x·1+y·ort(1) ) ∝ Δ( 0 , c , x·c+y·ort(c) ) ;
x·c+y·ort(c) è definito "prodotto" c·a ;
II ) criterio del rapporto :
definiamo "coppia di coordinate" di m rispetto a c la coppia di numeri reali (x,y) tale che
m=x·c+y·ort(c) ed esprimiamo simbolicamente questo fatto scrivendo: m ≡c (x,y) ;
ponendo a=x+yi, chiamiamo a "rapporto" di m rispetto a c, scrivendo m:c := a ;
siccome a ≡1 (x,y), m è quel punto che ha rapporto rispetto a c pari al rapporto che ha a rispetto a 1,
ovvero m:c=a:1 ; m è definito "prodotto" di a e c ;
( questo criterio conduce al concetto di proporzione )
III ) generalizzazione del moltiplicatore (coefficiente della moltiplicazione) da reale a complesso :
ponendo c = h+ki = h·1+k·ort(1) si costruisce il prodotto del moltiplicatore c per il moltiplicando a
applicando ad a il processo che è applicato a 1 per avere c, ossia :
c·a = h·a+k·ort(a).
I tre procedimenti portano allo stesso risultato, in quanto, posto c = h+ki e a = x+yi, si ha:
h·a+k·ort(a) = x·c+y·ort(c) = hx - ky + (hy+kx)i ,
il che significa che la moltiplicazione tra numeri complessi è commutativa (muovi su e giù l'interruttore d).
- Si ha: ort(a·b) = a·ort(b) , in quanto: ort(x·b+y·ort(b))=x·ort(b)+y·ort(ort(b))
e tale proprietà di ort (assieme alla sua linearità) permette di ricavare l'associatività del prodotto appena introdotto:
(a·b)·c=Re(a·b)·c+Im(a·b)·ort(c)=Re(x·b+y·ort(b))·c+Im(x·b+y·ort(b))·ort(c)=
x·Re(b)·c+y·Re(ort(b))·c+x·Im(b)·ort(c)+y·Im(ort(b))·ort(c)=
x·(Re(b)+Im(b)·ort(c))+y·(Re(ort(b))·c+Im(ort(b))·ort(c))=x·(b·c)+y·ort(b)·c=
x·(b·c)+y·ort(b·c)=a·(b·c) .
Altra fondamentale conseguenza:
ort(a) = ort( a·1) = a·ort(1) = a·i , da cui: i² = i·i = ort(i) = -1
e pertanto il simbolo ort è superfluo in quanto sostituibile dal prodotto per l'unità immaginaria.
- La coniugazione è distributiva rispetto alla moltiplicazione: conj(a·b) = conj(a)·conj(b),
in quanto conj(x·b+y·ort(b))=x·conj(b)+y·conj(ort(b))=x·conj(b)-y·ort(conj(b)).
spirale delle potenze di un numero a
( puoi muovere con il mouse i punti a e c )
tutti i triangoli Δ(0,aⁿ,aⁿ⁺¹), ottenuti con valori interi di n (n=0,1,-1,2,-2,3,-3,...), sono tra di loro proporzionali: tra questi, ottenuto con n=0, c'è il triangolo Δ(0,1,a).
modulo e versore
m≥0
Δ(0,1,n) ∝ Δ(0,m,a) ⇒ a=m·n ⇒ (se m non è nullo) n=a/m
Δ(0,1,n) ∝ Δ(0,k,m) ⇒ m=k·n=n·k
quindi:
a·k=m·n·k=m·m=m² ⇒ m=√(a·k)
ovvero: m=√(a·ā).
def₁ : modulo(a) := |a| := m
def₂ : versore(a) := vers(a) := n
a = |a|·vers(a)
argomento di un numero complesso e funzioni circolari
Ci riproponiamo di portare un numero reale d ad un arco di misura pari a d
con centro nell'origine 0 e punto di partenza 1.
Portiamo d in verticale collocando tale segmento verticale ad ascissa 1.
Quindi abbiamo che al punto d corrisponde il punto h=(1+d·i).
Prendiamo un numero intero positivo n e dividiamo tale segmento verticale in n parti,
ottenendo quindi il punto m=1+d·i/n.
Adesso costruiamo la spirale a n lati prendendo tutte le potenze m, m², m³, ..., mⁿ.
Quando n tende a infinito, il punto mⁿ tende al punto terminale dell'arco desiderato
(portando b verso sinistra, nella figura, h si sposta dall'estremo del segmento all'estremo della spirale,
mentre muovendo in orizzontale c si cambia il numero n).
In questo modo, al variare del punto d sull'asse reale, il punto P(d) riportato tramite tale "avvolgimento"
varia sulla circonferenza passante per 1 e di centro 0 (detta "circonferenza goniometrica").
Quindi si ha: P(d) := lim ( 1 + d·i )ⁿ .
Si definiscono le funzioni seno (sin) e coseno (cos) nel seguente modo:
sin(d) := ordinata(P(d)) , cos(d) := ascissa(P(d)) .
"Argomento" (detto anche "fase") di un numero complesso a è quel numero d dell'intervallo ]-π,π]
tale che P(d)=versore(a).
Il punto P(d) è detto "fasore" di a.
Si usano i seguenti simbolismi:
argomento(a) = arg(a) = ∠a.
Il limite lim (1+d·i)ⁿ si indica anche con la notazione exp(d·i), in quanto la funzione exp è definita come:
exp(ξ) := lim ( 1 + ξ/n )ⁿ.
Pertanto: a=|a|·exp(i·∠a)=|a|·(cos(∠a)+i·sin(∠a)).
In particolare, se x∈R : exp(i·x) = cos(x) + i·sin(x) (formula di Eulero per i numeri immaginari).
Per x = π tale formula fornisce: exp( i · π ) + 1 = 0 .
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