Approfondimento: una maniera alternativa per introdurre l'unità immaginaria  i

possiamo introdurre l'unità immaginaria, introducendo nel piano C una funzione ω da C a C, detta operatore ortogonale, con le seguenti 3 proprietà (che sostituiscono l'assioma di i e quello di bidimensionalità):

• ω( ω( 1 ) ) = -1
  • definiamo:  i := ω(1)
  • pertanto ω(i)=-1
  • ω ha la funzione che nella nostra trattazione ha   ort
• ω( x·u + y·v) = x·ω(u) + y·ω(v)
  • ossia: ω conserva le combinazioni lineari
  • possiamo sostituire tale assioma con i due seguenti:
      (1) ω( x·u ) = x·ω(u) ;     (2)   ω( u + v) = ω(u) + ω(v)
• C   è generato da   1   e   i = ω(1)
  • ossia ogni elemento di C è della forma x·1 + y·ω(1) = x·1 + y·i
  • quindi C = { x·1 + y·ω(1) : x∈R, y∈R} = { x + y·i : x∈R, y∈R}

dai precedenti assiomi possiamo derivare le seguenti conseguenze:

• ω(1) non è reale
  • Se ω(1)=x lo fosse, si avrebbe: -1=ω(ω(1)=ω(x)=ω(x1)=xω(1)=x² e si avrebbe un numero reale il cui quadrato è -1
  • dalla proprietà di monotonicità segue invece che se x>0 allora x·x>0, mentre se x<0 allora -x>0 e x·x=(-x)·(-x)>0
• ω( x+y·i ) = ω( x·1 + y·i ) = x·ω(1) + y·ω(i) = -y + x·i
  • ritroviamo così la formula che esprime la ortonormalità antioraria   ort
  • di conseguenza: ω( ω( x+y·i ) ) = ω(-y + x·i) = -x-y·i = -(x+y·i)
  • quindi: ω( ω( z ) ) = -z, qualunque sia z in C
• come per tutti gli operatori additivi, si ha: ω(0)=0, ω(-u)=-ω(u)
  • il fatto che l'operatore è additivo consiste esattamente nella proprietà: ω(u+v) = ω(u)+ω(v)
• dato v in C, esiste u tale che ω(u)=v
  • basta prendere u=-ω(v) e si ha: ω(u)=ω(-ω(v)) = -ω(ω(v)) = -(-v)=v

osserviamo inoltre che:

• anche -ω è un operatore ortogonale in C
  • -ω è l'operatore definito ponendo: (-ω)(z) := - ω(z)
  • questo comporta che nella teoria si potrebbe sostituire i con il suo opposto, prendendo quest'ultimo come unità immaginaria (e invertendo quindi l'orientamento orario-antiorario)
• dato u in C ma non in R (in modo che 1 e u generino C),
  la corrispondenza  x+yu -> -y+xu  definisce un operatore ortogonale in C che porta 1 in u
  • quindi addirittura qualunque punto di C che non sia in R potrebbe essere considerato unità immaginaria
  
  • ciò comporterebbe che i quadrati verrebbero visualizzati come parallelogrammi e i cerchi come ellissi
  • ...ma la sintassi della teoria rimarrebbe inalterata.