Un'osservazione sulle primitive di funzioni del tipo xⁿ

Sappiamo che la funzione xⁿ ha come primitive le funzioni xⁿ⁺¹/(n+1) + c (al variare della costante c si ottengono tutte tali primitive), purché n+1≠0, ossia n≠-1.

Per n=-1, invece, le primitive di 1/x, restringendosi al dominio x>0, sono date dalle funzioni: ln x + c.

Per spiegare come mai questa singolarità (tenendo anche conto che potremmo dare ad n valori reali che si avvicinano al valore -1 e per i quali varrebbe il fatto che le primitive sono xⁿ⁺¹/(n+1) + c finché n=-1 e diventano improvvisamente ln x + c quando n diventa -1) determiniamo (ipotizzando n≠-1) fra tutte le primitive xⁿ⁺¹/(n+1) + c (ottenute per i vari valori reali di c) di xⁿ quella particolare primitiva che passa per un punto prefissato del semipiano x>0, ad esempio quella che passa per U=(1,0).

Dalle condizioni x=1, xⁿ⁺¹/(n+1) + c=0, ricaviamo che c=-1/(n+1), ossia la primitiva di xⁿ passante per U è xⁿ⁺¹/(n+1) – 1/(n+1), ossia: (xⁿ⁺¹ – 1)/(n+1).

Proviamo adesso a far tendere n a -1 nell'espressione (xⁿ⁺¹ – 1)/(n+1).

Ciò equivale a determinare il limite:

lim _{h -> 0} ( x^h - 1) / h

che vale: ln x (vedi: http://w3.romascuola.net/gspes/e/lo/4d.html).

Pertanto la funzione cui si avvicina (punto per punto, ossia per ogni valore di x>0) la primitiva passante per U=(1,0) della funzione xⁿ , quando n tende a -1, è la primitiva, passante anch'essa per U, della funzione 1/x.