approssimazione di   exp( i t )   nel  semipiano destro

Approssimazione mediante troncamento di grado cinque della serie esponenziale Σh=0..∞ (i·cx)h/h! .
Se a è nel semipiano superiore, il punto   n   è  l'approssimante   Σh=0..5 (i·cx)h/h! ;
se a invece è nel semipiano inferiore,   n   è esattamente  exp(i·cx) .
Muovi c in orizzontale  ( a turno in entrambi i casi discriminati dalla posizione di a ) ;
come si vede, l'approssimazione è ottima nel semipiano destro e si perde "vicino" a  -1 .
( notiamo che basta una buona approssimazione nel primo ottante, per via delle  simmetrie goniometriche )

Nella seguente figura si sfrutta  l'approssimazione  (1 + z/m)m -> exp(z)  per  m -> ∞
che conduce alla maggiorazione  |exp(z) - (1 + z + z2/2)| ≤ (2/3)(|z|3/(4-|z|))  per |z| < 4 ;
con z = i·cx   ( e per -4 <  cx < 4 )  ne deriva che k = exp(i·cx) è nel cerchio (chiuso)
di centro n = 1 - cx2/2 + i·cx   e di raggio  (2/3)(|cx|3/(4-|cx|))
(situazione visualizzata in figura quando il punto a è nel semipiano superiore).
Per cx = 1 otteniamo una localizzazione approssimata di exp(i) che gli attribuisce parte reale positiva.
Dal fatto che  |u2-v2| = |u-v|·|u+v| ≤ |u-v|·(|u|+|v|)  e dal  fatto  che exp(2w)=exp(w)2  segue che :
 | exp(2i·cx) - (1 - cx2/2 + i·cx)2| ≤ (2/3)(|cx|3/(4-|cx|))·(1 + |1 - cx2/2 + i·cx|) .
Portando a nel semipiano inferiore viene visualizzato n = (1 - cx2/2 + i·cx)2  e il suo intorno chiuso
di raggio (2/3)(|cx|3/(4-|cx|))·(1 + |1 - cx2/2 + i·cx|), in cui deve cadere k = exp(2i·cx) .
Come vediamo, questa seconda approssimazione migliora la precedente .
Per cx = 1 otteniamo una localizzazione approssimata di exp(2i) che gli attribuisce parte reale negativa.