Dopo aver cliccato all'interno delle
figure, il punto a può comodamente essere mosso con le frecce del
tastierino direzionale apposito, il che ad esempio permette di raggiungere
valori interi, cosa utile soprattutto per le potenze.
18/02/2004
a l c u n i c o l l e g a
m e n t i i n t e r e s s a n t
i
funzione
incrementale g associata a una funzione f e
a un valore x dell'argomento ;
operatore D
g è definita
dalla formula g(p)=f(x+p)-f(x) ; in genere g(p)
dipende da x oltre che dall'incremento p, ossia g(p) è funzione
dell'incremento, ma la funzione g stessa varia al variare della
scelta di x
nella seguente
agendo su d si modifica x e agendo su c si modifica
p; il punto g descrive il grafico della funzione incrementale
di f con valore x dell'argomento; come si
vede, la funzione g cambia al variare di x
Nell'espressione
f(x+p)-f(x) sono presenti le due variabili x
e p, entrambe variabili indipendenti e che variano
indipendentemente l'una dall'altra; la variabile p è l'incremento
della x (nel passaggio da x a x+p) e viene usualmente indicato con
il simbolo Dx (in cui la lettera "delta"
ricorda la lettera "d" di "differenza"); pertanto x
e Dx sono entrambe variabili
indipendenti. D è detto
"operatore differenza" .
Dx, che è detta "variabile incrementale della
variabile x", è indipendente dalla variabile x.
La espressione f(x) è
una variabile dipendente dalla variabile x, mentre
l'espressione f(x+Dx)-f(x)
è una variabile dipendente dalle due variabili x e Dx.
dal momento che Dx è l'incremento della variabile
dipendente f(x) nel passaggio della x al valore x+Dx , si pone: Df(x) = f(x+Dx)-f(x)
l'espressione Df(x) deve essere interpretata come D( f(x) ) , ossia il simbolo D agisce sull'espressione f(x)
(contenente la sola variabile x) per produrre una nuova espressione
contenente sia la variabile x sia la corrispondente variabile
incrementale Dx (e per tale motivo
Df(x) è detta "espressione
incrementale nella variabile x" ). Ad
esempio:
D( x2 ) = (x + Dx)2 - x2 = 2xDx + (Dx)2 .
nell'espressione
f(x) la f (da sola) indica la funzione, mentre l'espressione f(x) è
detta "espressione funzionale nella variabile x" o anche "forma
funzionale nella variabile x". Potremmo applicare la stessa funzione
f ad un'altra variabile, ad esempio t, e ottenere l'espressione
funzionale f(t) nella variabile t. Sarebbe bene distinguere sempre
fra "funzione" ed "espressione funzionale"
l'operatore
D può essere applicato anche al solo
simbolo di funzione f per ottenere una nuova funzione Df , ponendo: (Df)(x)(p) = f(x+p)-f(x) ; ciò significa che ad
ogni x la funzione Df associa
non un numero, bensì la funzione incrementale g ,
associata alla f e al valore x dell'argomento di f, che
abbiamo detto essere quella che associa a ogni p il valore
f(x+p)-f(x) : quindi (Df)(x)=g
(e fra l'altro da ciò viene esplicitata la dipendenza di g dallo x
scelto). Pertanto (Df)(x) non è un
numero, ma un'intera funzione.
possiamo riassumere
quanto detto ai due punti precedenti con la seguente uguaglianza,
che mette in relazione la funzione Df
con l'espressione D(f(x)) : (Df)(x)( Dx ) = f(x+Dx)-f(x) = D(
f(x) )
ultima osservazione,
questa volta di carattere geometrico: la funzione incrementale
g = (Df)(x) , associata alla funzione f e
al valore x dell'argomento, ha (v. la figura sopra)
un grafico ottenuto per traslazione dal grafico della funzione
f con la traslazione che porta il punto (x , f(x) ) nell'origine, il
che equivale a considerare degli assi ausiliari centrati, invece che
nell'origine, nel punto ( x , f(x) )
.
10/02/2004
Spesso gli
studenti confondono la proporzionalità diretta con la proprietà di
monotonicità (al crescere della variabile indipendente cresce la variabile
dipendente) (non pensano ovviamente neanche per un attimo a rette con
pendenza negativa). Per contro ( evviva la coerenza ! ) fanno diventare
additiva (quindi lineare) praticamente ogni funzione che incontrano negli
esercizi (monotòna o non), a cominciare dalla quadratica e dalla radice
quadrata. La coerenza, forse, è nell'atteggiamento di "semplificazione a
tutti i costi" (compreso - come detto - quello della assenza della
"coerenza", già faticosa ricerca, attualmente sempre più diffusamente
neanche gadget di distinzione);
per quanto
riguarda l'errore sulla proporzionalità, si semplifica qualitativizzando
un caso particolare di un enunciato quantitativo (raffazzonamento
semantico, tipico della ripetizione mnemonica vagamente collegata a
un'idea), mentre nella iper-linearizzazione (direi anzi
pan-linearizzazione) si semplifica la formula (raffazzonamento sintattico,
tipico dell'identificazione "simboli=gesso sprecato su lavagna", per la
serie ... "visto che devo per forza scrivere una formula, buttiamo giù
questa!", quindi ripetizione mnemonica per nulla collegata a
un'idea).
L'incoerenza: ecco il perché
(e si tratta di un "perché" di causa ma anche di comodo fine di
manipolabilità sociale) la "matematica" è diventata nella considerazione
usuale una malattia del sangue: la ... "mattia ematica". (in effetti
l'insegnante che vuole cercare effettivamente di formare e non solo
"informare formalmente" è soggetto a periodi di donchisciottiana (nonché
normalissima per qualunque situazione di sforzo e studio non obliterata da
delphinizzazioni) "circolazione sanguigna non ottimale", per i quali i più
avanzati e labellotropi ("label oriented") manuali italiani di
didattica avranno immancabilmente stanato lo ... IETI ( Interchangeable
English Terminological Item ) accademicamente e
onomatologicamente appropriato)
Una osservazione aggiuntiva sulle funzioni a
incrementi proporzionali
Dalla proprietà di
f(x+p) - f(x) = g(p) di esser costante rispetto alla x ricaviamo
una importante proprietà per la funzione degli incrementi g
:
ossia:
la funzione g è "additiva", cioè porta somme in somme.
Ciò
comporta che g(nx)=ng(x), per ogni n intero positivo,
il che a sua volta comporta che:
g(1) = g(n 1/n) = n
g(1/n)
ossia che:
g(1/n) = g(1) /
n
Pertanto:
g(m/n) = m g(1/n) = m ( g(1) / n ) = g(1)
m/n per ogni numero razionale positivo m/n
( ossia g(x) =
g(1) x per ogni x razionale positivo )
Inoltre, dalla
uguaglianza g(p)=g(p+0)=g(p)+g(0) ricaviamo: g(0) = 0 (quindi
vale g(x)=g(1)x anche con x=0)
E quindi dalla
uguaglianza:
0 = g(0) = g(p+(-p)) = g(p) +
g(-p)
ricaviamo:
g(-p) = - g(p)
Pertanto la
precedente formula g(x)=g(1)x vale anche con -x al posto di x,
ossia per i numeri razionali negativi.
In conclusione: se g è
definita sui razionali ed è additiva, si ha che g(x)=kx , con
k = g(1)
ossia g è una proporzionalità diretta con coefficiente di
proporzionalità g(1).
Una funzione definita sui razionali e additiva è detta anche
"funzione lineare di variabile razionale".
La funzione g degli incrementi di una funzione f a incrementi
proporzionali è un esempio di tale tipo di funzione .
***
L'usuale definizione di proporzionalità diretta
definisce come tale una funzione g tale che : g(nx) = n
g(x) (con n=2,3,4,... , ma ovviamente anche per n=1).
Tale proprietà comporta, se g è definita su tutti i razionali
positivi, che si abbia: g(1) = g(n 1/n) = n
g(1/n) ossia: g(1/n) = g(1) / n
pertanto si ha:
g(m/n) = m g(1) / n = g(1) m/n per tutti i razionali positivi
m/n.
Quindi una g definita sui razionali positivi con la proprietà
data all'inizio di "estraibilità del coefficiente" (e questa è in
effetti la proprietà di "linearità") deve avere equazione :
g(x) = g(1) x
L'estensione di tale formula anche ai razionali non positivi
(quindi allo zero e ai razionali negativi) conduce al tipo di
funzione di cui sopra si è trattato. Pertanto quella che qui è
chiamata "proporzionalità diretta" (in base alla proprietà di
additività) non è altro che l'estensione a tutto il dominio
razionale di un'usuale proporzionalità diretta definita solo sui
razionali positivi.
Una
nota sulla impaginazione:
la
disposizione del testo dipende da come è impostata nel browser la
grandezza del carattere e perfino dalla grandezza che si sceglie per la
finestra di visualizzazione, pertanto bisogna fare attenzione che il fine
rigo è variabile.
Ecco perché
a volte le formule vengono mozzate. Bisogna sempre tener presente, per una
corretta interpretazione delle formule, che c'è una continuità fra
ogni rigo e il successivo.
09/02/2004
Funzioni a
rapporti esponenziali ; elevamento a potenza con esponenti
razionali
Sia f una funzione
definita su tutti i numeri razionali e siano h e k due di tali
numeri
si dice
"incremento per rapporto" (o semplicemente "rapporto") della
variabile dipendente y=f(x) da x = h a x = k il quoziente f(k)/f(h)
, mentre k-h è detto incremento (o "differenza", o ancora
"incremento per differenza") della variabile indipendente x nel
passaggio da x=h a x=k
la funzione f è
detta "a rapporti esponenziali" se a incrementi uguali della
variabile indipendente corrispondono rapporti uguali della variabile
dipendente, ossia se il rapporto della variabile dipendente è lo
stesso in corrispondenza di due incrementi uguali della variabile
indipendente. Supponiamo f(x)¹0, per ogni
valore di x, in modo da poter usare f(x) al denominatore .
in formula :
f(x+p) / f(x) = f(x'+p) / f(x') , per ogni scelta di x , x' , p ;
gli incrementi della variabile indipendente da x a x+p e da x' a
x'+p sono uguali a p ; un modo alternativo di esprimere questa
formula è l'affermazione che l'espressione f(x+p) / f(x) dipende da
p e non da x ossia scrivere l'uguaglianza : f(x+p) / f(x) = g(p) ,
dove g(p) è una funzione della variabile "incrementale" p (la
funzione g è detta "funzione dei rapporti" ricavata da f con valore
iniziale x dato alla variabile indipendente, oppure semplicemente "
funzione rapporto di f in x " ). Una prima conseguenza è che
f(x)/f(x/2)=f(x/2)/f(0), ossia f(x)f(0)=( f(x/2) )2 , per
cui f(x)f(0)>0, ossia f(x) mantiene sempre lo stesso segno di
f(0). Una seconda conseguenza riguarda la funzione g
: g(p+p') = f(p+p')/f(0) =
(f(p+p')/f(p))(f(p)/f(0)) = g(p')g(p) = g(p)g(p'), cioè la funzione
g porta somme in prodotti.
proveremo che per
ogni numero intero positivo x si ha: f(x) = b a x , con a
= f(1) / f(0) e b = f(0); inoltre estenderemo la definizione di
potenza al caso di esponente razionale qualunque proprio in modo cha
tale formula valga per ogni x razionale (ossia della forma m/n con m
intero ed n intero positivo)
agli incrementi di
1 sulle ascisse corrisponde sempre lo stesso rapporto r sulle
ordinate; in formule: f(1) / f(0) = r = a (ricordiamo che abbiamo
posto a=f(1)/f(0) ) , f(2) / f(1) = r , ... , f(m) / f(m-1) = r,
ecc ... ; quindi: f(1) = f(0)a = ba ( ricordando che abbiamo posto
b=f(0) ) , f(2) = f(1)r = f(1)a = ba2 , ... , f(m) =
f(m-1)r = f(m-1)a = b am-1 a = b am , ecc... ;
quindi per ogni x intero positivo vale l'uguaglianza f(x) = b a
x ; essa vale anche per x = 0 , purché si definisca a
0 in modo che valga l'uguaglianza f(0) = b a
0, ossia in modo che b = b a 0 , ovvero a
0 = 1 .
dividiamo
l'intervallo di base fra x = 0 e x = 1 in n parti uguali,
realizzando n incrementi ognuno di 1/n a partire da x = 0, cui
corrispondono altrettanti rapporti della variabile dipendente tutti
uguali fra di loro (clicca sulla figura qui sotto e poi premi la
barra spaziatrice tante volte fino a quando non hai ottenuto il
valore desiderato di n (che all'inizio è pari a 1); per tornare allo
stato iniziale digita la lettera c ( = "clear"), inoltre per
spostare la figura usa il tasto destro del mouse ; agendo sui punti
a = f(1) / f(0) e b = f(0) si modifica la funzione f ; muovendo d in
orizzontale (oppure agendo sulle frecce di spostamento laterale
dalla tastiera) si sposta il punto iniziale h dell'incremento p =
k-h = 1/n ). Infine coi tasti + e - si agisce sulla scala della
intera figura.
agli incrementi di
1/n sulle ascisse corrisponde sempre lo stesso rapporto s sulle
ordinate
in formule : f(1/n) / f(0) = s , f(2/n) / f(1/n) = s
, ... , f(1) / f(1-1/n) = s , ... , f(m/n) / f(m/n - 1/n) = s ,
...
moltiplicando
membro a membro le prime n (corrispondenti alla suddivisione in
figura) di tali uguaglianze, e semplificando i termini inversi
presenti nel primo di tali prodotti otteniamo: f(1)/f(0) =
sn , ossia a=sn (ricordiamo che abbiamo posto
a=f(1)/f(0) ) ; siccome f(x)f(0)>0 per ogni x, si ha a =
f(1)/f(0)>0 e s=f(1/n)/f(0)>0. Pertanto s è la radice positiva
di indice n del numero positivo a.
dalle precedenti
uguaglianze, usando dalla seconda in poi l'uguaglianza
immediatamente precedente e ricordando che abbiamo posto b=f(0),
otteniamo: f(1/n) = f(0)s = bs , f(2/n) = f(1/n)s = bss =
bs2 , ... , f(1) = f(1-1/n)s = bsn , ... ,
f(m/n) = f( (m-1)/n )s = b sm-1 s = b sm . Se
definiamo am/n = sm , ossia la potenza di
esponente m della radice positiva di indice n di a (con m numero
intero positivo), possiamo scrivere l'uguaglianza per ogni x=m/n
: f(x) = f(m/n) = b sm = b am/n
= b ax . Come abbiamo visto questa uguaglianza vale
anche per x=0, quindi l'abbiamo provata per ogni valore di x
razionale non negativo. Notiamo che da tale formula segue che f(x)
ha sempre lo stesso segno di b, in quanto ax >0
se -x è il numero
razionale negativo opposto a quello generico positivo per cui
abbiamo visto che vale l'uguaglianza f(x) = b ax , per la
proprietà della uguaglianza dei rapporti in corrispondenza a
incrementi uguali si ha: f(0)/f(-x) = f(x)/f(0) , quindi f(-x) =
f(0) f(0) / f(x)= b2 / f(x) = b2/(b
ax) = b/ax = b (1/ax) , ossia
continua a valere la espressione f(x)=b ax anche con -x
al posto di x purché si definisca a-x =1/ax
.
la dicitura "a
rapporti esponenziali" trae origine dal fatto che, indipendentemente
da quale sia l'ascissa x scelta come iniziale per l'incremento della
variabile indipendente, si ha: g(p)=f(x+p)/f(x) = (b
ax+p)/(b ax ) =
(ax+p)/(ax )= (ax
ap)/(ax ) = ap , ossia la funzione
rapporto della f in x associa ad ogni p la potenza di base a ed
esponente p stesso; tale funzione è detta "esponenziale in base a"
(osserviamo che la base di g è la stessa per tutti i valori iniziali
x della variabile indipendente)
Funzioni a
incrementi lineari (o direttamente proporzionali)
Sia f una funzione
definita su tutti i numeri razionali e siano h e k due di tali
numeri
si dice incremento
(o differenza) della variabile dipendente y=f(x) da x=h a x=k il
valore f(k)-f(h), mentre k-h è detto incremento della variabile
indipendente x nel passaggio da x=h a x=k
la funzione f è
detta "a incrementi lineari" (al posto di "incrementi" si può usare
il termine "differenze" e al posto di "lineari" la locuzione
"direttamente proporzionali") se a incrementi uguali della variabile
indipendente corrispondono incrementi uguali della variabile
dipendente, ossia se l'incremento della variabile dipendente è lo
stesso in corrispondenza di due incrementi uguali della variabile
indipendente
in formula :
f(x+p) - f(x) = f(x'+p) - f(x') , per ogni scelta di x , x' , p (linearità degli incrementi); gli incrementi della variabile
indipendente da x a x+p e da x' a x'+p sono uguali a p ; un modo
alternativo di esprimere questa formula è l'affermazione che
l'espressione f(x+p) - f(x) dipende da p e non da x ossia scrivere
l'uguaglianza : f(x+p) - f(x) = g(p) , dove g(p) è una funzione
della variabile "incrementale" p (la funzione g è detta "funzione
incrementale" ricavata da f con valore iniziale x dato alla
variabile indipendente, oppure semplicemente " funzione incrementale
di f in x ")
proveremo che per
ogni numero razionale x si ha: f(x) = a x + b , con a = f(1) - f(0)
e b = f(0)
dividiamo
l'intervallo di base fra x=0 e x=1 in n parti uguali, realizzando n
incrementi ognuno di 1/n a partire da x=0, cui corrispondono
altrettanti incrementi della variabile dipendente tutti uguali fra
di loro (clicca sulla figura qui sotto e poi premi la barra
spaziatrice tante volte fino a quando non hai ottenuto il valore
desiderato di n (che all'inizio è pari a 1); per tornare allo stato
iniziale digita la lettera c ( = "clear"), inoltre per spostare la
figura usa il tasto destro del mouse ; agendo su a=f(1)-f(0) e su
b=f(0) si modifica la funzione f ; muovendo d in orizzontale (oppure
agendo sulle frecce di spostamento laterale dalla tastiera) si
sposta il punto iniziale h dell'incremento p=k-h=1/n ). Infine coi
tasti + e - si agisce sulla scala della intera figura.
agli incrementi di
1/n sulle ascisse corrisponde sempre lo stesso incremento q sulle
ordinate
sommando membro a
membro le prime n (corrispondenti alla suddivisione in figura) di
tali uguaglianze, e semplificando i termini opposti presenti nella
prima di tali somme otteniamo: f(1)-f(0) = nq, ossia a=nq
(ricordiamo che abbiamo posto a=f(1)-f(0) ), ovvero troviamo il
valore di q, che è : q = a/n
dalle precedenti
uguaglianze, usando dalla seconda in poi l'uguaglianza
immediatamente precedente e ricordando che abbiamo posto b=f(0),
otteniamo: f(1/n)=a/n+f(0)=a/n+b , f(2/n)=a/n+f(1/n)=2a/n+b, ... ,
f(1) = a/n + f(1-1/n) = n a/n + b , ... , f(m/n) = a/n + f(m/n-1/n)
= m a/n + b = a m/n + b , ossia per ogni x razionale espresso come
m/n , con m numero intero non negativo, si ha : f(x) = a x + b
se -x è il numero
razionale negativo opposto a quello generico positivo per cui
abbiamo visto che vale l'uguaglianza f(x)=ax+b, per la proprietà
della linearità degli incrementi si ha: f(0) - f(-x) = f(x) - f(0) ,
quindi f(-x) = -f(x) + 2 f(0) = -(ax+b) + 2b = -ax - b + 2b = -ax +
b = a (-x) + b , ossia continua a valere la espressione f(x)=ax+b
anche con -x al posto di x .
la dicitura "a
incrementi lineari" trae origine dal fatto che, indipendentemente da
quale sia x, si ha:
g(p)=f(x+p)-f(x)=a(x+p)+b-ax-b=ap , ossia la
funzione incrementale della f in x è lineare, ossia è una
proporzionalità diretta (la stessa per tutti i valori iniziali x
della variabile indipendente)
In conclusione:
ogni funzione a incrementi lineari ha per equazione l'equazione
di una retta non verticale
