informatematica

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all'inizio viene evidenziata la parabola 0.5(x-1)² + 2

il "coefficiente di forma" della parabola è 1/2=0.5 , indichiamolo con f

il "vertice" della parabola è (1 , 2) , indichiamolo con d = (h , k) = h+ki = h+m =1+2i

muovendo in orizzontale col mouse il punto di input a modifichi f = a_x

muovendo col mouse il punto di input d modifichi il vertice d = (d_x , d_y)

la parabola di equazione y = f (x-h)² è traslata di h della parabola y = f x²

h = d_x è detto "spostamento orizzontale" (infatti è un numero reale)

per traslare la parabola y=f(x-h)² in verticale di k si aggiunge ki=m a ogni punto

e così si ottiene l'equazione y = f (x-h)² + k , parabola y = f x² traslata di d=(h,k).

Supponiamo adesso di avere da graficare la equazione y = a x² + b x + c

determiniamo f , h e k in modo che a x² + b x + c = f (x-h)² + k

si ha : a x² + b x + c = f (x-h)² + k = f x² - 2 f h x + f h² + k

l'uguaglianza si realizza quando : a = f , b = - 2 f h , c = f h² + k

ossia : b = - 2 a h ( quindi h = -b/2a ) e c = a h² + k ( quindi k = c- a h² )

troviamo quindi : f = a , h = -b/2a , k = c- a h² = c - a (-b/2a)² = c - b² / 4a

quindi il vertice è d = (h , k) = ( -b / 2a , c - b² / 4a ) (coordinate del vertice)

pertanto y=ax²+bx+c ha per grafico la parabola di forma y=ax² ma con vertice d

( nota che il parametro a dell'equazione è solo l'ascissa del punto a della figura )

se vogliamo risolvere l'equazione ax²+bx+c=0 , scriviamola come f (x-h)² + k = 0

ricaviamo (x-h)² = -k/f quindi x-h = ±Ö(-k/f), ossia x = h ±Ö(-k/f)

esprimendo f, h, k tramite a, b, c otteniamo la formula risolutiva x=(-b±Ö(b²-4ac))/2a

di solito si pone D = b²-4ac (detto "delta" o "discriminante" dell'equazione di 2° grado)

Riassumendo: l'equazione a x² + b x + c = 0 ha soluzioni x = ( -b ± ÖD ) / 2a

L'impostazione "tradizionale" della trattazione dei numeri complessi è inversa rispetto alla filosofia da me seguita in queste pagine di informatematica. Nella trattazione scolastica (e - quasi sempre - accademica) usuale i numeri complessi sono una "sintesi a posteriori" di concetti geometrici vettoriali e goniometrici e , con la formula di Eulero, infinitesimali. Qui invece si fa leva sulla loro intrinseca potenzialità di "sintesi a priori" per eleggerli a "terreno di formalizzazione e sviluppo" di osservazioni grafiche di base (un'assiomatizzazione è sempre una sintesi a priori di constatazioni più o meno concrete, anche se spesso collocata posteriormente rispetto a tragitti più o meno astratti di sistematizzazione e ottimizzazione concettuale dell'osservazione, tesi a conferirle "dignità " di "priorità "). In questo modo sono proprio i numeri a "condurre a" (piuttosto che a "raccogliere da") vettori, angoli, misurazioni. Il campo dei numeri complessi diventa così l'edificio "cartesiano" (ma non meno "pitagorico") che pone a sue fondamenta semplici modelli grafici e permette di collegare sùbito analiticamente geometria e algebra (e questa nel duplice e intercorrelato senso aritmetico e simbolico-strutturale), dando al numero il ruolo di veicolo formale per calcolare su entità interpretate nel piano grafico. Cosa importante è introdurre la moltiplicazione come "operazione definita" (e non come "concetto primitivo"), il che le assegna un valore di crescita operativa e intellettuale (permette di riferire il piano all'unità tramite proporzioni e scale) anche proprio della stessa etimologia della parola e permette di ... dare allo zero quel che è dello zero (riferimento vettoriale additivo, tramite la regola del parallelogramma, che conduce a scale di differenze) e all'uno quel che è dell'uno (che conduce alla misurazione e a scale di rapporti). Per comprendere quanto sia poco seguita questa "devozione al numero complesso" come "capo distributore di miracoli matematici" e non "coda deposito di formule preesistenti ( e spesso contenute in contesti differenti, come quello della visione sintetica della geometria euclidea)", basta cercare su GOOGLE la stringa: "moltiplicazione grafica".