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19/12/2003
UNITA'
FANTA-IMMAGINARIA |
Cosa accade se l'unità
immaginaria i non "sta" dove di consueto |
nella seguente
c è l'unità immaginaria ( ossia i ) |
h e k sono la parte reale e
il coefficiente della parte immaginaria di b |
n è
l'ortogonale di a (n come "normale", sinonimo di "ortogonale") |
la
circonferenza goniometrica (centro 0 e raggio 1) è in colore blu |
| m è il prodotto ab (prova a
scegliere col mouse vari valori di a e di b) |
| puoi spostare il centro della
circonferenza spostando da 0 il punto d |
| puoi aumentare il raggio della
circonferenza con la barra spaziatrice |
| puoi tornare al raggio 1
digitando C (="clear") dalla tastiera |
| puoi spostare tutta la figura
trascinandola col tasto destro del mouse |
| puoi ingrandire o rimpicciolire
tutta la figura con i tasti + e - |
| muovendo c visualizzi cosa
accade quando i viene posta in c |
| conclusione: uno stesso sistema
algebrico descrive più situazioni |
17/12/2003
Il tasto ">"
della tastiera (ricordare che esso richiede in contemporanea il tasto "shift")
equivale a premere 100 volte il pulsante "step" del pannello dell'applet.
Esso però funziona solo se si è prima cliccato sulla finestra della figura
(per selezionarla). Una maniera alternativa di effettuare lo "step" è di
cliccare prima sulla figura (basta una sola prima volta, appunto per
selezionare il quadro della figura) e poi premere la barra spaziatrice (ogni
pressione equivale a un clic sul pulsante "step").
13/12/2003
( per i numeri immaginari ) |
| muovendo b si modifica la lunghezza del
segmento verticale (all'inizio pari a 3.14) |
| muovendo a si modifica la
grandezza del numero naturale f (all'inizio f=6) |
| indicata con t l'ordinata di b, si ha : m
= 1 + i t , g = 1 + i t / f , k = ( 1 + i t / f )f |
| la funzione esponenziale viene definita
come exp(x) := lim f®¥ ( 1 + x / f )f |
| al tendere di f all'infinito, k tende a
exp(it) , che è il punto della circonferenza goniometrica estremo insieme a 1 di un arco
di lunghezza t (avvolgimento di t) |
| a seconda del segno di t l'avvolgimento
avviene in senso antiorario oppure orario |
12/12/2003
| Somma di angoli : con c scegli a e con b scegli b
. |
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| la somma di a e b
è per definizione la loro composizione : |
( a + b ) ( x , y ) := b
( a( x , y ) ) |
| Nella figura il punto d può essere spostato
col mouse e si ha : ( a + b ) ( d ) = b ( a( d ) ) = b ( n ) = m |
| ricordando che a(1) =(cos a , sin a) , b(1)
=(cos b , sin b) e le formule di
rotazione, si ha : ( a + b )( 1 )
= b ( a( 1 ) ) =
b(cos a,sin a) = (cos a)(cos b,sin
b) + (sin a)(-sin
b,cos b)
Quindi : cos (a + b) = cos a cos b - sin
a sin b
sin (a + b) = cos a sin b + sin a
cos b |
Nella sezione dei collegamenti ( "ligiloj" ...
a(ng)lias : "links" )
quattro
novità :
- cercaparole
- graph-applet
- symbmath
- integrali
on line
07/12/2003
| il "decalogo" della
moltiplicazione fra numeri complessi |
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Puoi muovere col mouse i numeri complessi a e b. Il prodotto a*b è f . |
| il piano nelle figure può
essere traslato col mouse tenendo premuto il tasto CONTROL (Ctrl) |
1) prendiamo in esame l'esempio:
3*b = (1+1+1)*b = b+b+b (ad ogni 1 si sostituisce b) |
| 2) sappiamo che l'ortogonale (antiorario) di
z=x+yi è ort(z)=-y+xi, in particolare ort(1) = i |
| 3) procediamo come in 1) con:
(3+2i)*b=(1+1+1+ort(1)+ort(1))*b=b+b+b+ort(b)+ort(b) |
| 4) si "induce" la definizione: a*b =
(p+qi)*b = p b + q ort(b) = Re(a) b + Im(a) ort(b) |
| 5) se b = x+yi , si ha: a*b = (p+qi)*(x+yi) =
p(x+yi) + q(-y+xi) = (px-qy) + (py+qx)i |
| 6) graficamente, moltiplicare a per b significa
"rotodilatare" a così come 1 si "rotodilata" in b |
| 7) la "dilatazione" può essere anche
"contrazione", a seconda di quanto b "dista" da 0 |
| 8) conj(b)=Re(b)-Im(b)i è il
"coniugato" di b ossia il simmetrico di b rispetto all'asse reale |
| 9) b "dista" da 0 quanto 1 da 0 quando
la stessa rotodilatazione porta 1 in b e conj(b) in 1 |
| 10) per visualizzare 9) porta a in conj(b); in
tal caso, se b dista 1 da 0, f=a*b=conj(b)*b=1 |
| per comodità
si è posto a=conj(b), quindi b dista 1 da 0 quando f=conj(b)*b=1 |
Questa impostazione geometrica della
moltiplicazione fra numeri complessi permette di giungere rapidamente
all'uso di questa operazione nelle trasformazioni geometriche. Come si vede
confrontando questa tabella con quella delle rotazioni, le formule che
reggono la moltiplicazione sono le stesse di quelle di rotazione, che, se si
prescinde dalla relazione pitagorica (conseguenza della proprietà di
rigidità ), in effetti forniscono una rotodilatazione. Le rotodilatazioni
sono anche chiamate (con termine misto latino-greco) "roto-omotetie"
("rota"=ruota, "omotetia"=stessa disposizione) o semplicemente "omotetie nel
piano complesso".
04/12/2003
| Rotazioni intorno all'origine 0 (angoli) :
muovi c per scegliere l'angolo |
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| una rotazione a intorno all'origine
(angolo) porta 1 in a(1)=(a,b)=f |
| proprietà 1) a( i ) = a( 0 , 1 ) = ( -b , a ) = g (ortogonalità) |
| proprietà
2) a( d ) = a( x , y ) = a( x 1 + y i ) = x f + y g = n
(conservazione delle coordinate)
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| proprietà 3) a( h ) = a( a , -b ) = 1 (rigidità) |
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| (x', y') = a(x,y)
= x a(1) + y a(i) = x(a,b) + y(-b,a)
= ( xa-yb , xb+ya ) (rotazione) |
| ( 1 , 0 ) = a(
a , -b ) = ( a2 + b2 , 0 ) , quindi a2 + b2
= 1 (relazione pitagorica) |
cos a :=
a (definizione di coseno) |
sin a :=
b (definizione di seno) |
G
:= C1 := { (a,b) : a2 + b2 = 1
} (circonferenza goniometrica) |
| c = ( p , q ) = t f , f Î G , t ³
0 Þ t = | c | := Ö( p2 + q2
) (modulo) |
| ( 1 , m ) = | ( 1 , m ) | a(1) Þ cos a ¹ 0 , m = tg a := sin a
/ cos a (tangente) |
Dopo aver scelto c
nella figura, porta d (punto di test) in 1 , così n (punto ottenuto da d con
la stessa rotazione che porta il semiasse positivo delle ascisse sulla
semiretta 0c) si sposta in f. Analogamente poi porta d in i (unità
immaginaria) per verificare la proprietà 1 e poi porta d in h per verificare
la proprietà 3. La proprietà 2 va esplorata spostando d in varie posizioni e
notando che d "sta a" 1 e i così come n "sta a" f e g.
02/12/2003
Se
durante il navigare in questo
o in altri siti
appare una finestra che propone
o esige il tuo assenso o una conferma
ad una installazione di programma
o esorta a dire "sì" o dare "ok"
a qualche azione o qualche "perfezione",
consiglio è di chiuderla con l' x
posta sulla monella in alto a destra
o
- se tale facoltà non l'han lasciata -
beccando la finestra incriminata
con clic sulla sua barra superiore
e poi schiacciando insieme ALT-F4.
Di questo la cagione dove sta?
Risponne er cinesino pe' cita' :
" Alma a commelcio è pubblicità ,
mentle suo còlpo è fatto . . .
pe' flega' " |
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Quale è la
figura escheriana (paradossale) ? |
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