informatematica

epinoemi matematinformatici di Gaetano Speranza

30/10/2003

guida di Cabri-Géomètre e di MathView

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29/10/2003

questo sono io ...

28/10/2003

in tempo di dispute su simboli religiosi ...

27/10/2003

Densità, continuità, divisibilità
In questo post si affrontano più in dettaglio alcune relazioni fra continuità , densità e divisibilità . Ovviamente in una trattazione didattica conviene postulare la divisibilità e non dimostrarla, anche per poter cominciare a lavorare subito sulle frazioni. Direi che in un curricolo di scuola superiore il "conviene" è più un "bisogna", dal momento che i discorsi qui fatti richiedono una certa abilità di dimostrazione astratta, che neanche gli studenti universitari del primo anno in genere sviluppano rapidamente. Ciò non significa che una riflessione teorica non vada fatta... e i testi sono carenti su questo punto (persino il manuale di Chiellini di preparazione al concorso a cattedra non è al riguardo pienamente rigoroso).

Densità : dati x e y in R tali che x<y, esiste un z in R tale che x<z e z <y

(in breve : x<z<y ).

Ciò deriva dall’assioma: xÎP Þ $ x’ÎP x-x’ÎP .

Infatti, preso x’ in modo che x’>0 e x’<y-x , si ha x<x+x’<y .

Conseguenze :

Teorema (di subdimezzabilità o subdivisibilità binaria) :

dato x>0, esiste y>0 tale che 2y=y+y<x .

dimostrazione: preso z>0 tale che z<x (l’esistenza di un tale z è postulata dall’assioma precedente), se anche 2z<x si prende y=z, altrimenti si prende y<x-z

(infatti da 2z ³ x segue x-z £ z e quindi 2x-z £ x+z , quindi 2(x-z)=2x-2z £ x)

Teorema (di subdivisibilità) :

dato n numero naturale non nullo e dato x>0, esiste y>0 tale che ny < x .

dimostrazione: si procede per induzione su n. Se n=1 l’asserto coincide con l’assioma di densità. Supposto che esista y>0 tale che ny<x, dalla subdimezzabilità segue l’esistenza di un y’>0 tale che 2y’<y , per cui si ha (n+1)y’ £ 2ny’ < ny < x .

Continuità

Definizioni :

1) dati A e B sottoinsiemi di R si dice che A precede B (scrivendo A<<B) se A e B sono non vuoti e ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B.

(In particolare ne segue che A e B sono disgiunti)

2) intervalli : [a,b] := {x : a £ x £ b} ,

]a,b] := {x : a < x £ b} ,

[a,b[ := {x : a £ x < b} ,

]a,b[ := {x : a < x < b} ,

semirette : [a , ¥ [ := {x : a £ x } ,

]a , ¥ [ := {x : a < x } (illimitate superiormente) ;

]-¥ , a] := {x : x £ a } ,

]-¥ , a[ := {x : x < a } (illimitate inferiormente) .

3) un sottoinsieme A di R è detto “collocato inferiormente” se precede il suo complementare; un sottoinsieme B di R è detto “collocato superiormente” se il suo complementare lo precede.

Assioma di continuità :

Ogni sottoinsieme di R collocato inferiormente è una semiretta illimitata inferiormente (quindi del tipo ]-¥ , a] oppure ]-¥ , a[ ).

L’elemento a è detto “separatore” (o “elemento di separazione”) fra A e il suo complementare. Esso è anche detto “estremo superiore” di A e “estremo inferiore” del complementare di A ; nel caso in cui esso appartiene ad A (ossia A=]-¥,a]) è detto “massimo” di A, mentre nel caso esso non appartiene ad A (ossia A=]-¥,a[) esso è detto “minimo” del complementare di A.

Divisibilità : se n è un numero naturale non nullo, per ogni x>0 esiste un unico y>0 tale che ny = x .

(Se invece x<0, allora esiste un unico y<0 tale che ny=x, per provare la quale cosa si procede a dividere –x>0 e poi a cambiare di segno il risultato della divisione).

La dimostrazione (che nel caso n=1 è ovviamente inutile) si ottiene considerando i due insiemi : A := {z : nz £ x } e B :={z : nz > x}, che risultano essere complementari e il primo precedente il secondo, per cui si pone y uguale al separatore di A e B. Tale y non può verificare né la condizione ny>x (in quanto se così fosse, preso p > 0 tale che np < ny-x , si avrebbe n(y-p)=ny-np>ny-ny+x=x e quindi y-p minore di y ma in B, invece che in A) né la condizione ny<x (in quanto se così fosse, preso p > 0 tale che np < x-ny , si avrebbe n(y+p)=ny+np<ny+x-ny=x e quindi y+p maggiore di y ma in A, invece che in B) e pertanto deve risultare ny=x.

26/10/2003

Introduzione assiomatica degli insiemi numerici R e C

Assiomi additivi

oggetti : S ( spazio ) ,

0 Î S , + : S´S®S , - : S®S

Modello empirico : punti e regola del parallelogramma o della concatenazione

1) x + y = y + x (commutatività)

2) (x+y) + z = x + (y+z) (associatività)

3) x + 0 = x (neutralità di 0)

4) x + (-x) = 0 (simmetricità)

Definizioni basate sulla sola struttura additiva

x + y + z := ( x+y ) + z

x+y+z+w :=((x+y)+z)+w , ecc.

x – y := x + ( -y ) (operazione di sottrazione)

Esempi di teoremi basati sulla sola struttura additiva

x+y =z => x = z–y

(sommando ai due membri –y ; utilizzabile per la risoluzione di equazioni)

- ( -x ) = x

(dalla precedente e dal fatto che (-x)+x=0 )

x + y = 0 => x = – y

(dalla prima con z=0)

0 = - 0 (dalla precedente con x=y=0) ;

- ( x + y ) = -x – y ;

x – y = - ( y – x )

Assiomi di ordine e continuità

Modello empirico : semiretta aperta avente origine in 0 e retta da essa individuata

Assiomi di ordine

( oggetti : P Ì S ( P è detto “verso (positivo)” ) )

5) xÎP Þ ( x¹0 e $ x’ÎP x-x’ÎP ) ;

6) x,yÎP Þ x+y ÎP ;

7) ( x,y Î P e x ¹ y ) Þ ( x-y Î P o y-x Î P )

Definizioni che richiedono anche la struttura d’ordine

-P := { -x : x Î P } ( verso negativo di P ) ;

R = asse(P) := P È (-P) È {0} ( asse reale )

"x,yÎasse(P) :

x<y :Û y-xÎP ;

x>y :Û y ;

x£ y :Û (y < x) o (x=y) ;

x³y :Û y£x

A << B :Û "a Î A , "b Î B a<b

( con A , B Ì asse(P) e A , B ¹ Æ )

x :=max(A) :Û x Î A e ("aÎA a£x) ;

x :=min(B) :Û x Î B e ("bÎB x£b)

Esempi di teoremi

x Î P Þ -x Ï P ;

P Ç (-P) = Æ

< e > sono antiriflessive e transitive ;

£ e ³ sono riflessive, antisimmetriche e transitive

" x , y Î asse(P) x < y o x = y o x > y

(legge di tricotomia)

conservazione additiva delle disuguaglianze :

x < y Þ x+z < y+z ;

x > y Þ x+z > y+z ;

x £ y Þ x+z £ y+z ;

x ³ y Þ x+z ³ y+z

inversione delle disuguaglianze :

x < y Þ -x > -y ;

x £ y Þ -x ³ -y

Assioma di continuità ( “P è un verso continuo” )

8) A<<B e A È B = asse(P) Þ $ x Î asse(P) ( x=max(A) o x=min(B) )

9) 1 Î P ( assioma dell’unità )

( oggetto : 1 Î S )

Definizioni

Induttivo(M) :Û ( M Ì S e 0ÎM e ("xÎM x+1ÎM ) )

N := Ç{ M : induttivo(M) }

(intersezione di tutti i sottoinsiemi induttivi di S);

N^*= N⁺ := N-{0} ;

Z = Z := N È ( -N⁺ ) ;

Z^*:= Z-{0} ;

Z⁺= N⁺

Moltiplicazione con coefficiente intero :

* : Z ´S ® S :

1*x:=x ;

n*x := (n-1)*x + x

ab := a*b ;

abc := (a*b)*c ;

abcd := ((a*b)*c)*d ; ecc.

Esempi di teoremi e ulteriori definizioni

0*x=0 ;

"nÎZ (-n)*x=-(n*x)=n*(-x) ;

* è commutativa in Z ;

"a,bÎZ "xÎS (ab)x= a(bx)

"a,bÎZ "xÎS ( a + b ) x = a x + bx ;

"aÎZ "x,yÎS a ( x + y ) = a x + a y ;

"nÎN⁺1/n := max( { xÎR : n x £ 1 } ) ;

n x = 1 Û x = 1/n

c := a/b Û bc=a (divisione) ;

Q:={m/n : mÎZ, nÎN⁺};

Q⁺:={m/n : mÎ N⁺, nÎN⁺} ;

Q^*:=Q-{0}

"nÎN⁺ "pÎP p/n := max( { xÎR : n x £ p } ) ;

n x = p Û x = p/n

"nÎN⁺"pÎP (-p)/n=-(p/n);

"mÎZ "nÎN⁺"xÎR (m/n)x :=m(x/n)

(moltiplicazione Q´R®R)

estensione della moltiplicazione da Q´R®R a R´R®R

Assiomi di estensione ( oggetti : I⁺ Ì S , i Î S )

modello empirico: ortonormalità

10) I⁺ è un verso continuo ( assiomi 5, 6, 7, 8 con I⁺ al posto di P ) ;

I := asse(I⁺)

11) i Î I⁺ (assioma 9 con i e I⁺al posto di 1 e P) ;

12) RÇI = {0} (assioma di bidimensionalità)

Esempi di definizioni e teoremi

Ni:={ni: nÎN};

N⁺i:={ni: nÎN⁺};

Zi:={ai: aÎZ};

Z^*i:={ai: aÎZ^*};

Qi:={m(i/n): mÎZ, nÎN⁺}

…

Estensione della moltiplicazione da Q´I®I a R´I®I .

"x,yÎR :

Re(x+yi):=x ;

Im(x+yi):=y ;

con(x+yi):=x-yi ;

ort(x+yi):=(-y+xi) ;

C:=R+Ri := {x+yi : xÎR,yÎR} ;

Ri = I ;

moltiplicazione in C :

"a,bÎR "zÎC (a+bi)*z := az + b ort(z)

(cambiamento di sistema di riferimento da (1,i) a (z,ort(z) ).

Rotodilatazione :

rot_w : z ®w z

(rotazione se rot_w (con(w))=1).

Si tratta di una impostazione assiomatica delle basi della teoria elementare degli insiemi numerici che giunge fino a (volendo si potrebbe andare oltre, con Frobenius, fino a quaternioni e ottetti) introdurre il campo C (vedendo R come parte "a par condicio" con il suo complemento a C), di tipo "immersivo-additivo", fortemente motivata geometricamente e a espansione graduale, ossia che parte da uno spazio S (che empiricamente può essere visto come bi- o tridimensionale, o a più dimensioni) in cui si introducono gruadualmente prima una struttura additiva di gruppo (il che, tramite un'interpretazione di spazio "puntato" e l'usuale associazione intuitiva di punti e raggi vettori, consente un'introduzione ai vettori, pur se, a questo livello, ancora senza nozioni moltiplicative), poi una struttura di ordine su due dimensioni indipendenti R := P U (-P) U {0} (asse reale) e I := I⁺ U (-I⁺) U {0} (asse immaginario,con l'indipendenza definita senza ricorso alle combinazioni lineari; il modello empirico che si prende a semantica della teoria è quello ortonormale e si formalizzano così i concetti di "verso" (semivarietà lineare), di "densità ", di "continuità " (assenza di "buchi"), di dimensionalità (esistenza di versi indipendenti), delegando alla terna (0, 1, i) il criterio di ortogonalità ed equidistanza; c'è da precisare che mentre nelle usuali trattazioni degli spazi numerici il numero è posto a fondamento di modelli analitici di teorie sintetiche, qui una teoria di tipo sintetico-vettoriale, o meglio gruppale, è alla base dell'introduzione stessa dei numeri, quindi si porrebbe essa stessa a modello geometrico di una eventuale preesistente teoria costruttiva dei numeri, così come si fa quando si introducono le grandezze). In un secondo momento si introducono le unità 1 e i, vincolate agli ordini in modo opportuno ed evidente, e gli insiemi N e Z, nonché le moltiplicazioni a coefficienti in Z e gli insiemi immaginari Ni e Zi e il piano intero Z+Zi (dove già si può introdurre l'operatore di ortogonalità ort(m+ni) :=-n+mi , giustificabile facilmente dal punto di vista grafico; da osservare che dire che ort costruisce "l'ortogonale isometrico antiorario" non è meno convenzionale che dire che due vettori u e v sono ortogonali e congruenti rispetto ad un prodotto scalare fra gli infiniti che possono essere introdotti in RxR). Le caratteristiche dell'ordinamento intervengono per stabilire l'infinità di N. Inoltre, tramite la continuità si stabilisce la divisibilità in un numero naturale non nullo di parti uguali (se si vuole si può anche postularla per non usare la continuità subito, il che didatticamente risulta ostico) e si introducono Q, la moltiplicazione a coefficienti razionali, Qi e il piano razionale Q+Qi. A questo punto dal piano razionale e dalla moltiplicazione in Q+Qi, introdotta come cambiamento di sistema di riferimento e alla base delle roto-omotetie (e in particolare delle omotetie e delle rotazioni) , si possono far scaturire le problematiche di tipo isometrico (una rotoomotetia w ->zw è detta rotazione quando porta il coniugato di w in 1; in tal caso w è detto "unitario") e quelle pitagoriche (con(w)*w=1 è il teorema di Pitagora per i w unitari), sulla valutazione metrica (ogni z non nullo ha un versore unitario vers(z) e si determina il fattore positivo k ( ossia |z| ) tale che k*vers(z)=z; la distanza fra z e w è |z-w|, ecc.) e sugli irrazionali ( ad esempio il classico |1+i| ). Mi pare un modo (e un ulteriore passo verso la semplificazione intuitiva nella catena ... -> Dieudonné -> Choquet -> ... ) per: a) evitare di introdurre l'ampliamento di R a C come una "uscita cervellotica" e puramente algebrica (per cui i viene ad essere una radice quadrata "strana" di -1); a') evitare di creare (in barba ai monomorfismi immersivi) nei neuroni degli studenti una disparità di trattamento fra R e C, per cui R stesso è diverso se visto da solo o come asse reale; b) usare subito nozioni geometriche intuitive ma subito formalizzate lavorando nel contempo su numeri in modo grafico (ad esempio con Cabri), fra l'altro permettendo di esplicitare i ruoli di sintassi e semantica, teoria formale e interpretazione; c) viceversa rispetto al punto (b), interpretare ogni volta geometricamente il frutto di calcolo algebrico (senza delegare tutto alla geometria analitica procrastinata, magari al triennio); d) dare all'addizione ciò che è dello zero e alla moltiplicazione ciò che è dell'uno. d') associare addizione e traslazioni da una parte e moltiplicazione e roto-omotetie (in particolare le omotetie e le rotazioni) dall'altra, facendo assumere a rette e circonferenze ruolo di figura fondamentale per i due tipi di isometria, magari con riflessioni sul concetto di curvatura e di punto all'infinito; d'') vedere 0 come il punto a "potenziale additivo nullo" (origine del piano) e 1 come quello a "potenziale moltiplicativo nullo" (origine degli angoli, definiti come rotazioni intorno a 0), polarizzando la struttura di C in vettori (frecce "dritte") da una parte e "rotatori" (numeri complessi unitari, alias frecce "ad arco") dall'altra; d''') vedere la moltiplicazione come operazione introdotta gradualmente sulla base dell'addizione (proporzionalità diretta naturale e frazionaria) e poi della continuità e dell'ortogonalità (e non come operazione asetticamente distributiva come si fa nella usuale introduzione assiomatica di R); e inoltre non degradare al rango di "moltiplicazione di binomi" la moltiplicazione in C; e) svincolare il concetto di distanza da un'ambigua e non integrata oscillazione fra nozioni sintetiche (raramente formalizzate a livello scolastico) e norma pitagorica su numeri o coppie numeriche; e') preparare "eulerianamente" la strada alla misura in radianti (altro punto di "glissaggio") e alle funzioni goniometriche tramite la visualizzazione della spirale (1+i/n)^k con k=1,...,n ed n intero positivo e sempre più grande; lo stesso con la "archificazione" di t e (1+it/n)^k con k=1,...,n (per cui exp(p*i)=-1 perde le "esotericità" presunte); e''') evitare di introdurre ("alla Dieudonné") un prodotto scalare predefinito (cosa che fra l'altro richiede la definizione di spazio vettoriale e la precedente introduzione "asettica" dei numeri reali) e preparare la strada al prodotto vettoriale nello spazio tridimensionale riguardandolo come passaggio da ort, visto come prodotto vettoriale unario, ad un operazione binaria, laddove non c'è un unico ortogonale "privilegiato" per un vettore.

24/10/2003

Esercizio - 3^S

Sia P=(1,1) e Q=(r,0), con r non negativo;

1) determinare l’equazione della retta s passante per P e Q

2) determinare l’equazione della retta s^_|_(P) passante per P e perpendicolare a s

3) determinare l’equazione della retta s^_|_(Q) passante per Q e perpendicolare a s

4) determinare l’equazione della retta s^_|_(M) passante per M=(punto medio fra P e Q) e perpendicolare a s

5) detta q(r) la intercetta sulle ordinate della retta al punto (4), stabilire per quali valori di r tale intercetta è positiva, nulla o negativa

6) il caso relativo a q(r)=0 corrisponde ad avere un triangolo isoscele nella figura rappresentante la configurazione per tale caso. Quale è tale triangolo?

7) generalizzare quanto fatto nei precedenti punti (1)...(6) al caso di un punto P=(a,b) con b>0.

23/10/2003

PROGRAMMA DI MATEMATICA

CLASSI 5^S e 5^V - anno scolastico 2003/2004 (insegnante: Gaetano Speranza)

Funzioni e loro dominio. Funzioni reali di una variabile. Funzioni reali lineari di variabile reale e loro rappresentazione. Intervalli in R e topologia della retta reale.

Modellii lineari ( y = a x ) e loro traslati ( y = a x + b ). Retta passante per due punti nel piano cartesiano.

Modelli quadratici ( y = a x² ) e loro traslati ( y = a x² + b x + c ). Determinazione della traslazione che trasforma y = a x² in

y = a x² + b x + c .

Velocità di crescita di una funzione. Approssimazione del grafico di una funzione in un suo punto con la retta tangente (problema della linearizzazione locale); il concetto di derivata, esaminato anche con l’uso del computer.

Il concetto di differenziale per funzioni di una variabile reale: approssimazione dell’incremento effettivo con l’incremento lineare.

Principali derivate (delle funzioni y = costante , y = xⁿ , y = a^x , y = sin x , y = cos x , con le relative dimostrazioni) e delle tecniche di derivazione di applicazione delle formule di derivazione di somme, prodotti, composizioni di funzioni.

Applicazioni di tali regole alla determinazione delle derivate di funzioni più composte, quali y = tg x = sin x / cos x .

Le funzioni goniometriche inverse arcsin, arccos, arctg e le loro derivate .

Studio di una funzione utilizzando il calcolo differenziale, con applicazioni a semplici casi.

Successioni ( funzioni con dominio N⁺) e limiti di successioni e di funzioni : il numero di Nepero come limite della successione (1+1/n) ⁿ . Richiami delle regole di calcolo con i logaritmi.

Limiti collegati al limite di Nepero. Limite di sin x / x per x tendente a zero. Cenni al concetto di serie.

Il problema della misura dell’area sottesa dal grafico di una funzione (ossia compresa fra questo e l’asse delle ascisse) e compresa fra rette verticali di ascisse date.

Definizione dell’integrale definito di una funzione esteso ad un intervallo [a,b] , introdotto come applicazione dei concetti di limite di una successione e dell’operatore di sommatoria e con equisuddivisione dell’intervallo di integrazione : scaloidi anticipato (o sinistro) e posticipato (o destro) approssimanti. Estensione del processo di integrazione definita al caso di suddivisione qualunque dell’intervallo.

Integrale definito di una somma di funzioni, del prodotto di una funzione per un numero (multiplo di una funzione). Scambio degli estremi di integrazione. Suddivisione dell’intervallo di integrazione [a,b] in unione di sottointervalli [a,c] e [c,b].

Teorema fondamentale del calcolo integrale e collegamento dell’integrale definito con le primitive della funzione integranda.

Integrale indefinito di una funzione, ovvero insieme delle primitive di questa. Esame della motivazione e del significato geometrico della costante di integrazione a meno della quale è individuata una primitiva.

Integrazione, definita e indefinita, per parti, per sostituzione, per decomposizione in somma della funzione integranda.

* * *

PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA DEL QUARTO LIVELLO

classe 4^R – 2003/2004 – 1° quadrim.

( insegnante : Gaetano Speranza )

Prerequisiti e introduzione

Piano complesso e operazioni di addizione e moltiplicazione con interpretazione geometrica.Risultati fondamentali della goniometria ricavati con l’uso della struttura del piano complesso.Concetto di funzione e di trasformazione nel piano.

MODELLI DISCRETI

Successioni

Definizione di successione. Rappresentazione cartesiana di una successione. Successioni definite esplicitamente. Successioni definite ricorsivamente. Fattoriale. Sequenze finite. Simbolo di sommatoria e successione cumulata (per addizione) ricavata da una successione numerica. Successioni infinitesime ed infinite. Convergenza, non convergenza e divergenza. Limite di una successione convergente o divergente.

INTRODUZIONE ALLE

SERIE NUMERICHE

INTRODUZIONE ALLE

FUNZIONI ESPONENZIALI

Progressioni aritmetiche e geometriche

Definizione di progressione aritmetica e di progressione geometrica. Formule di Gauss per la somma dei primi n termini di una progressione geometrica.

Crescita lineare e composta, esponenziale reale

Crescita lineare f(C,a,t)=C+Cat=C(1+at). L’esempio della capitalizzazione semplice. Ricapitalizzazioni e crescita composta.

La successione :

{ (1+ a/n)^k }_k=0,1,…

Numero e ; funzione esponenziale reale exp(x) e suo grafico ( anche per x < 0 ). Capitalizzazione continua. Logaritmi.

Numeri periodici

Deduzione della regola per la trasformazione di un numero periodico in forma di frazione di interi.

Esponenziale complesso

Richiami sulle operazioni in C. Il limite di (1+it/n)ⁿ , per n tendente ad infinito. Esponenziale complesso e formula di Eulero.

MODELLI CONTINUI

Funzioni reali di una variabile reale

Intervalli reali. Richiamo della definizione di funzione. Dominio di una funzione e campo di esistenza di funzioni elementari (campo di definizione di espressioni contenenti una variabile). Intorni di un punto. Intorni di infinito. Concetti intuitivi di convergenza e di divergenza. Concetto intuitivo di continuità. Asintoti orizzontali e verticali. Limite del rapporto (sin x)/x per x tendente a 0 (giustificazione geometrica). Funzioni goniometriche inverse.

Introduzione al calcolo differenziale

Incrementi della variabile indipendente e incrementi dipendenti di una funzione in un dato valore iniziale della variabile indipendente. Rapporto incrementale e concetto di velocità media di crescita. Velocità istantanea di crescita. Tangente ad un grafico in un suo punto, e sua pendenza. Derivata di una funzione y=f(x) in un valore x₀ della sua variabile indipendente. Funzione f ’ derivata di una funzione f . Notazione (di Leibniz) dy/dx . Derivate di funzioni elementari : a (costante), x (identità), x² (quadrato), 1/x inversione, sin x , e^x . Regole di derivazione : derivata della somma e del prodotto, derivata di una funzione composta.

Conseguenze delle tre regole di derivazione :

derivata di : a f(x) , cos x , 1/f(x) , f(x)/g(x) .

* * *

Programmazione di matematica

Classe 3^S

A. Sc. 2003/2004 – 1° periodo quadrimestrale

docente : Gaetano Speranza

Modulo 3.1 (primo bimestre)

1° mese : L’ambiente additivo dei numeri complessi. Vettori nel piano numerico e operazioni di addizione di vettori (regola del parallelogramma) e di moltiplicazione di un numero reale per un numero complesso (o un vettore). Ortogonalità.

Funzioni lineari (rette passanti per l’origine, o anche proporzionalità dirette). Traslazioni e rette non passanti per l’origine. Equazioni delle rette in forma esplicita (funzionale) e parametrica. Equazione vettoriale di una retta, in forma vettoriale e in forma di componenti scalari. Equazioni di segmenti e semirette. Disequazioni lineari.

2° mese :

Moltiplicazione di due numeri complessi. Coniugato di un numero complesso. Concetto di rotazione intorno all’origine (angolo orientato). Numeri complessi unitari e loro proprietà pitagorica, circonferenza unitaria, rotazione intorno all’origine come moltiplicazione per un numero unitario. Modulo di un numero complesso e teorema di Pitagora. Distanza fra due numeri complessi. Moltiplicazione come rotodilatazione. Inversione e divisione in C.

Modulo 3.2 (secondo bimestre)

1° mese :

Circonferenza goniometrica e archi. Misura in radianti di un angolo. Il numero p . Misura in gradi sessagesimali. Funzioni seno, coseno e tangente. Sinusoide, cosinusoide e tangentoide. Angoli associati e angoli notevoli. Determinazione di un angolo tramite: 1) coseno e segno del seno, oppure: 2) tangente e segno del coseno. Somma di angoli tramite seno e coseno. Formule di duplicazione per il seno e il coseno. Angoli di 30° , 45° e 60°. Formule elementari di goniometria. Forma goniometrica dei numeri complessi e moltiplicazione. Formula di De Moivre. Successioni e concetto intuitivo di limite. Funzione esponenziale reale (numero di Nepero) e complessa e formula di Eulero. Applicazioni della goniometria ai triangoli (trigonometria), teorema del coseno e dei seni.

2° mese :

Grafici traslati, stirati e simmetrici. Richiami sulle equazioni di secondo grado e grafici di funzioni quadratiche (parabole con asse verticale), ricondotti per stiramenti e traslazioni a quelli della funzione base y=x². Disequazioni quadratiche. Circonferenze ed ellissi. Iperboli e concetto di asintoto. Le coniche come famiglia di curve.

Composizione e inversione di funzioni. Modelli di crescita esponenziale. Logaritmi naturali e in altre basi. Funzioni goniometriche inverse. Studio qualitativo di una funzione e concetto intuitivo di limite. Teoremi fondamentali sui limiti (enunciati) e applicazioni alle funzioni razionali. Limiti notevoli coinvolgenti il numero di Nepero e la funzione seno. Calcolo di limiti con artifici vari. Infinitesimi, infiniti e loro confronto.

Piano di ripartizione del programma di informatica

Classe 2^R

A. Sc. 2003/2004 – 1° periodo quadrimestrale (docente : Gaetano Speranza)

Introduzione alle operazioni basilari di gestione di un PC tramite il sistema Windows 98 / 2000 : Uso della tastiera e del mouse, il desktop, icone e finestre, cartelle e file e loro strutturazione ad albero (loro “indirizzi” espressi come “percorsi”), collegamenti a cartelle e a file, menu contestuali, memoria volatile (RAM), residente o non volatile (ROM e dischi rigidi), esterna (CD-ROM e floppy disk). Distinzione fra Hardware e Software.

1) CAD (Computer Aided Design):

L’ambiente “Cabri-Géomètre” :

input grafici, strumenti primitivi e macro; dipendenza degli output dagli input durante l’interazione con l’utente.

2) Elementi di logica :

Costanti booleane TRUE (VERO) e FALSE (FALSO). Congiunzione (AND, E), disgiunzione (OR, O), negazione (NOT, NON). Costanti e variabili. Funzioni o operatori e loro notazioni unidimensionali (prefisse, infisse, postfisse) e bidimensionali. Albero strutturale di un’espressione. Precedenza di un operatore rispetto ad un altro. Quantificatori universale ( " , “per ogni”, “qualunque sia”) ed esistenziale ( $ , “per qualche”, “esiste”).

3) CAS (Computer Algebra Systems):

- L’ambiente “Derive” :

definizione (assegnazione di un valore) di variabili, definizione di funzioni tramite assegnazione di variabili dipendenti del tipo f(x). Assegnazioni vuote (dichiarazioni). Inserimento e valutazione di un’espressione. Distinzione fra uguaglianza definitiva ( := ) e uguaglianza predicativa ( = ) . Oggetti definiti (o derivati) costruiti a partire da oggetti (termini e funzioni) primitivi (o predefiniti). L’operatore condizionale “IF”. Definizioni ricorsive (l’esempio della moltiplicazione di numeri naturali). L’iterazione e i costrutti VECTOR, SELECT, ITERATE e ITERATES.

- L’ambiente “MathView” :

definizione di regole di trasformazione per l’elaborazione simbolica e il “pattern matching”.

4) FOGLI ELETTRONICI (Spreadsheets):

L’ambiente “Excel” :

la struttura tabulare del foglio, celle dipendenti da altre celle tramite funzioni, trascinamento di celle, grafici in formato predefinito. L’operatore condizionale “SE” e il suo uso “nidificato”. L’uso prefisso dei connettivi E ed O ; le quantificazioni universale ed esistenziale come E e O “globali” .

22/10/2003

Piano di ripartizione del programma di matematica

Classe 2^R - A. Sc. 2003/2004 – 1° periodo quadrimestrale (docente : Gaetano Speranza)

Piano di ripartizione del programma di matematica

Classe 2^R - A. Sc. 2003/2004 – 1° periodo quadrimestrale (docente : Gaetano Speranza)

Notazioni insiemistiche per elencazione o per proprietà caratteristica degli elementi. Simboli di appartenenza e non appartenenza. Richiami sul calcolo negli insiemi N (numeri naturali = numeri interi non negativi) , Z (numeri interi relativi) e Q (numeri razionali) . Interpretazione geometrica delle operazioni di addizione e moltiplicazione. Introduzione di una unità immaginaria e rappresentazione di punti come numeri complessi. Regola del parallelogramma. Assi, semiassi, semipiani e quadranti coordinati. Figure piane come grafici di relazioni. Trasformazioni nel piano cartesiano. Le due simmetrie assiali coordinate nel piano cartesiano: P=(x,y)® P^-=(x,-y) (coniugazione) e P=(x,y)®-P^-=(-x,y) (anticoniugazione). L’identità P=(x,y)®P=(x,y) e la simmetria centrale P=(x,y)® -P=(-x,-y) (opposizione o antiidentità). La simmetria rispetto alla bisettrice principale P=(x,y)® P*=(y,x) (inversione) e l’inversione di una funzione. Relazione inversa di una funzione e funzioni invertibili. Composizione di funzioni e in particolare di trasformazioni. Le rotazioni ortogonali fondamentali P = (x,y) ® P^{^}= (-y,x) (antioraria) e P = (x,y) ® -P^{^}=(y,-x) (oraria). L’ottagono associato ad un punto del piano cartesiano. Punti associati ad un punto dato e riduzione di un punto, distinto dall’origine, al primo quadrante e al primo ottante. Riduzione al primo quadrante e al primo ottante di semirette partenti dall’origine. Angoli come coppie di semirette uscenti dall’origine. Supplementarità, esplementarità, complementarità di angoli il cui primo lato è la semiretta 01. Concetto generale di funzione ed equazioni del tipo y=f(x), andamento di un fenomeno descritto da una sola variabile indipendente. Iniettività, surgettività, biunivocità. Grafici di equazioni, nella forma {(x,y): eq(x,y)}. Grafici di funzioni del tipo y=ax (proporzionalità dirette, rette passanti per l’origine). Grafici di funzioni del tipo y=ax+b (rette). Significato geometrico dei parametri a e b. La funzione quadratica y=x² . Equazioni di primo grado di tipo ax+b=o : loro risoluzione tramite applicazione in ordine inverso delle funzioni inverse di quelle con cui è ottenuta l’espressione al primo membro. Sistemi di primo grado con due equazioni e due incognite. Risoluzione grafica (rette e loro intersezioni). Retta per l’origine ortogonale ad una retta data e relazione fra le loro equazioni. Relazione di perpendicolarità fra rette e notazione r ^s. Grafici collegati per simmetria alla funzione di equazione y=f(x) : equazioni del tipo y=-f(x) , y=f(-x) , y=-f(-x). Grafici collegati per contrazione/dilatazione alla funzione di equazione y=f(x) : equazioni del tipo y=af(x), y=f(bx), y=af(bx). Applicazione alla modulazione di ampiezza e alla modulazione di fase. Punto medio fra due punti dati e relazioni con la media aritmetica (semisomma). Relazione di simmetricità di due punti P e Q rispetto ad una retta r (asse di simmetria) espressa tramite condizione sul punto medio ( (P+Q)/2 Î r ) e condizione di ortogonalità ( ret(P,Q) ^ r ). Determinazione algebrica del punto P₀=(c,0), del semiasse non negativo delle ascisse, simmetrico di un punto dato P=(a,b) rispetto ad un’opportuna retta per l’origine: formula pitagorica c=Ö(a²+b²) . Numeri irrazionali e insieme R. Insieme C dei numeri complessi. Bisezione dell’angolo P₀OP e determinazione del coefficiente angolare della retta bisettrice. Composizione di simmetrie assiali e traslazioni (isometrie). Isometrie dirette e inverse. Notazione per gli intervalli unidimensionali chiusi, aperti, semiaperti : [a,b] , ]a,b[ , ]a,b] [a,b[ . Grafici di disequazioni nella forma {(x,y): diseq(x,y)}. Disequazioni lineari e fratte. Effetto dell’introduzione del parametro a nelle funzioni quadratiche y=ax². Traslazione verticale ed equazioni del tipo y=f(x)+k. Traslazione orizzontale di una funzione di equazione y=f(x) ed equazioni del tipo y=f(x-h). Traslazione verticale di un grafico e parabole con equazione y=ax²+ k . Traslazione orizzontale di un grafico e parabole con equazione y=a(x-h)² , con discussione del segno di h nel suo rapporto col tipo di traslazione orizzontale. Combinazione di traslazione orizzontale e di traslazione verticale e parabole di equazione del tipo y=a(x-h)² + k . Definizione del vertice della parabola di equazione y=a(x-h)² + k come punto V=(h,k). Riduzione della generica funzione y= ax²+bx+c alla forma y=a(x-h)²+k . Deduzione delle relazioni (equazioni del vertice della parabola) : h = -b/2a , k = -D /4a ( con D= b²- 4ac ). Intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse e dipendenza della loro esistenza dal segno di D e dal segno di a . Risoluzione dell’equazione di secondo grado a x ²+ b x + c = 0, scrivendola nella forma a ( x - h ) ²+ k = 0. Disequazioni d 2° grado (metodo grafico). Proprietà fondamentali delle radici quadrate. Deduzione della formula generale risolutiva di un’equazione di secondo grado. Risoluzione semplificata di equazioni di secondo grado della forma ax²+ c = 0 e della forma ax²+bx = 0 . Richiami sugli esponenti negativi e introduzione degli esponenti frazionari. Radici di indice n . Inversione a destra e a sinistra di un’operazione e applicazioni al caso della operazione di elevamento a potenza, che porta alle due operazioni inverse di logaritmo e di radice. Motivazione della definizione delle potenze ad esponente frazionario tramite il criterio di far corrispondere a somma di esponenti il prodotto delle relative potenze ( regola : x ^{y
+z} = x ^y x ^z ). La funzione 2^x per valori interi e non interi della variabile x e il suo uso nella acustica musicale.

Calcolo con i radicali come applicazione della definizione delle potenze ad esponente razionale e delle regole :

x ^y x ^z = x ^{y +z} (prodotto di potenze con la stessa base), (x ^y) ^z = x ^{y z} (potenza di una potenza) , x^z y^z = (x y)^z (prodotto di potenze con lo stesso esponente). Radicali e razionalizzazione di denominatori.