si dice incremento (o differenza) della variabile dipendente y=f(x) da x=h a x=k il valore f(k)-f(h) , mentre k-h è detto incremento della variabile indipendente x nel passaggio da x=h a x=k

la funzione f è detta "a incrementi lineari" (al posto di "incrementi" si può usare il termine "differenze" e al posto di "lineari" la locuzione "direttamente proporzionali") se a incrementi uguali della variabile indipendente corrispondono incrementi uguali della variabile dipendente, ossia se l'incremento della variabile dipendente è lo stesso in corrispondenza di due incrementi uguali della variabile indipendente

in formula : f(x+p) - f(x) = f(x'+p) - f(x') , per ogni scelta di x , x' , p ( linearità degli incrementi ); gli incrementi della variabile indipendente da x a x+p e da x' a x'+p sono uguali a p ; un modo alternativo di esprimere questa formula è l'affermazione che l'espressione f(x+p) - f(x) dipende da p e non da x ossia scrivere l'uguaglianza : f(x+p) - f(x) = g(p) , dove g(p) è una funzione della variabile "incrementale" p (la funzione g è detta "funzione incrementale" ricavata da f con valore iniziale x dato alla variabile indipendente, oppure semplicemente " funzione incrementale di f in x " )

proveremo che per ogni numero razionale x si ha: f(x) = a x + b , con a = f(1) - f(0) e  b = f(0)

dividiamo l'intervallo di base fra x=0 e x=1 in n parti uguali, realizzando n incrementi ognuno di 1/n a partire da x=0, cui corrispondono altrettanti incrementi della variabile dipendente tutti uguali fra di loro (clicca sulla figura qui sotto e poi premi la barra spaziatrice tante volte fino a quando non hai ottenuto il valore desiderato di n (che all'inizio è pari a 1); per tornare allo stato iniziale digita la lettera c ( = "clear"), inoltre per spostare la figura usa il tasto destro del mouse ; agendo su a=f(1)-f(0) e su b=f(0) si modifica la funzione f ; muovendo d in orizzontale (oppure agendo sulle frecce di spostamento laterale dalla tastiera) si sposta il punto iniziale h dell'incremento p=k-h=1/n ). Infine coi tasti + e - si agisce sulla scala della intera figura.

agli incrementi di 1/n sulle ascisse corrisponde sempre lo stesso incremento q sulle ordinate    

in formule :    f(1/n) - f(0)=q ,  f(2/n) - f(1/n)=q , ... ,  f(1) - f(1-1/n)=q , ... ,  f(m/n) - f(m/n - 1/n) = q , ecc ...

sommando membro a membro le prime n (corrispondenti alla suddivisione in figura) di tali uguaglianze, e semplificando i termini opposti presenti nella prima di tali somme otteniamo: f(1)-f(0) = nq, ossia a=nq (ricordiamo che abbiamo posto a=f(1)-f(0) ), ovvero troviamo il valore di q, che è : q = a/n

dalle precedenti uguaglianze, usando dalla seconda in poi l'uguaglianza immediatamente precedente e ricordando che abbiamo posto b=f(0), otteniamo: f(1/n)=a/n+f(0)=a/n+b , f(2/n)=a/n+f(1/n)=2a/n+b, ... , f(1) = a/n + f(1-1/n) = n a/n + b , ... , f(m/n) = a/n + f(m/n-1/n) = m a/n + b = a m/n + b , ossia per ogni x razionale espresso come m/n , con m numero intero non negativo, si ha : f(x) = a x + b

se -x è il numero razionale negativo opposto a quello generico positivo per cui abbiamo visto che vale l'uguaglianza f(x)=ax+b, per la proprietà della linearità degli incrementi si ha: f(0) - f(-x) = f(x) - f(0) , quindi f(-x) = -f(x) + 2 f(0) = -(ax+b) + 2b = -ax - b + 2b = -ax + b = a (-x) + b , ossia continua a valere la espressione f(x)=ax+b anche con -x al posto di x .

la dicitura "a incrementi lineari" trae origine dal fatto che, indipendentemente da quale sia x, si ha: g(p) = f(x+p)-f(x)=a(x+p)+b-ax-b=ap , ossia la funzione incrementale della f in x è lineare, ossia è una proporzionalità diretta (la stessa per tutti i valori iniziali x della variabile indipendente)

ogni funzione a incrementi lineari ha per equazione l'equazione di una retta non verticale