numeri reali

i n u m e r i r e a l i
addizione	oggetti primitivi	S : insieme (spazio)
		0 : elemento di S (zero)
		+ : operazione con due input in S e un output in S
	assiomi (proprietà primitive)	commutatività	x + y = y + x
		associatività	(x + y ) + z = x + (y + z)
		neutralità	x + 0 = x
		simmetricità	∀x ∃ y ( x + y = 0 )
	alcuni teoremi (proprietà derivate) e definizioni (oggetti derivati)	x+y+z := (x+y)+z , x+y+z+w := ((x+y)+z)+w , ecc.
		( x+y=0 e x+y'=0 ) -> ( y=y' )
		operatore - a un input (opposizione): x + (-x) = 0
		operatore - a due input (sottrazione): x-y := x+(-y)
		( x + y = z ) -> ( x = z - y e y = z-x )
		( x + y = 0 ) -> ( x = -y e y = -x )
		- ( - x ) = x
		- 0 = 0
		- ( x + y ) = ( - x ) + ( - y ) = - x - y
		- ( x - y ) = - x + y
ordine e unità	oggetti primitivi	R⁺ : sottoinsieme di S (verso reale positivo) (gli elementi di tale sottoinsieme sono detti "numeri reali positivi")
		1 : elemento di R⁺ (uno)
	definizioni	( x > y ) := ( x - y ∈ R⁺ ) (relazione "maggiore di")
		( x < y ) := (y > x ) (relazione "minore di")
		( x ≥ y ) := ( ( x > y ) o ( x = y ) ) ("maggiore o uguale")
		( x ≤ y ) := ( ( x < y ) o ( x = y ) ) ("minore o uguale")
		( A precede B in R⁺ ) := ( (A sottoinsieme non vuoto di R⁺) e (B sottoinsieme non vuoto di R⁺) e (∀x∈A ∀y∈B (x < y) ) )
		( x = max(A) ) := ( (x∈A) e (∀y∈A ( y ≤ x ) ) )
		( A ha max) := (∃ x ( x = max(A) ) )
		( x = min(B) ) := ( (x∈B) e (∀y∈B ( x ≤ y ) ) )
		( B ha min) := (∃ x ( x = min(B) ) )
		- A := { - x : x ∈ A } ( ":" si legge "tale/i che" )
		A' := { x ∈ R⁺ : x ∈ A } ( "complementare" di A )
		R^- := -R⁺ (verso negativo) , R := R^- ∪ {0}∪R⁺ (asse reale)
		N := { 0 , 1 , 2 := 1+1 , 3 := 1+1+1 , ... } (numeri naturali)
		Z := N ∪ ( -N ) (numeri interi relativi)
		N⁺ = Z⁺ := N - {0} = { 1 , 2 , 3 , ... }
		1·x := x , n·x := (n-1)·x + x (moltiplicazione), n x := n·x
	assiomi	chiusura	( ( x > 0 ) e ( y > 0 ) ) -> ( x + y > 0 )
		tricotomia	( (x>0) e (y>0) ) -> ( (x=y) o (x<y) o (x>y) )
		densità	( x > 0 ) -> ( ( x ≠ 0) e ( ∃ y > 0 ( y < x ) ) )
		continuità	(A precede A' in R⁺)->((A ha max) o (A' ha min))
	alcuni teoremi e altre definizioni	0 ∈R⁺(0 non appartiene al verso reale positivo), quindi 1 ≠ 0
		( x > y ) -> ( x ≠ y ) (antiriflessività)
		( x > y ) -> non( y > x ) (antisimmetricità)
		( ( x > y ) e ( y > z ) ) -> ( x > z ) (transitività)
		(∀ n∈N⁺1/n := max( { x∈R : n x ≤ 1 } ) ) e ( n(1/n) = 1 )
		Q⁺:={m/n := m(1/n): m∈N⁺, n ∈N⁺} (numeri razionali positivi)
		Q^- := -Q⁺ , Q := Q^- ∪ {0}∪ Q⁺ (numeri razionali)