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l'inversione come simmetrizzazione

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• In figura è rappresentata in blu la funzione  exp_a={ (x,y) :  y=a^x }. Tale funzione, in quanto insieme di coppie ordinate, è una relazione; e, come ogni relazione, essa è invertibile. La sua relazione inversa  exp_a^-1={ (y,x) :  y=a^x }  è rappresentata in rosso in figura. Scambiando nella notazione (il che non cambia la sostanza) le lettere delle variabili, abbiamo:  exp_a^-1={ (x,y) :  x=a^y }.
   

• Come è evidenziato nella figura, si passa dal generico punto  k=(x,a^x)  di  exp_a  al generico punto  h=(a^x,x)  di  exp_a^-1  mediante la simmetria assiale rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (ossia la retta di equazione y=x). Ovviamente anche il passaggio inverso da  h  a  k  avviene mediante la stessa simmetria. La trasformazione effettuata da tale simmetria è infatti la seguente:  (x,y) → (y,x). Puoi osservare come graficamente il passaggio delle coordinate x e y da un asse all'altro è realizzabile tramite segmenti perpendicolari a tale bisettrice.
   

• Come si vede portando a nella posizione (0,1), quando  exp_a  è la funzione costante  exp₁=1, ossia la retta orizzontale di ordinata 1, l'inversa è la retta verticale di ascissa 1 (che è una relazione, in quanto insieme di coppie ordinate, ma  non è una funzione  perché associa a  1   tutti i numeri reali, e  non  un solo  valore).