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simmetria fra funzioni logaritmiche

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• In figura vedi, in blu, la funzione  exp_a,  esponenziale in base  a  (con evidenziato il fatto che tale funzione vale a in corrispondenza all'ascissa 1) e, in rosso, la funzione  log_a, logaritmica nella stessa base (che quindi vale 1 in corrispondenza all'ascissa a). Puoi muovere  a  in verticale per modificare la base. Vedi anche un punto, d, che serve da interruttore: portandolo sotto l'asse delle ascisse si evidenziano altre due funzioni: in viola, la funzione  x → exp_a(-x), simmetrica di  exp_a  rispetto all'asse delle ordinate, che, come già dovresti sapere, è la funzione  exp_!/a (con la base 1/a, reciproca di a); in verde, la funzione  -log_a  simmetrica di  log_a  rispetto all'asse delle ascisse.
   

• Che relazione c'è fra le funzioni  exp_!/a  e  -log_a ?   Dalla figura risulta manifesto che esse sono simmetriche rispetto alla bisettrice y=x. Per capire il motivo di questo fatto, basta osservare che partendo da un punto  (x,y)∈exp_a   si passa per simmetria rispetto all'asse delle ordinate a  (-x,y)∈exp_1/a  e da questo, per simmetria rispetto alla bisettrice suddetta, si perviene a  (y,-x)∈log_1/a; allo stesso tempo, sempre partendo da (x,y)∈exp_a, tramite simmetria rispetto alla bisettrice si passa a  (y,x)∈log_a  e da questo, per simmetria rispetto all'asse delle ascisse, si giunge a  (y,-x)∈-log_a, che è lo stesso punto cui si perveniva prima.
   

• Concludiamo che:   log_1/a = -log_a ;  ovvero: funzioni logaritmiche in  basi reciproche   sono  funzioni opposte  (quindi con grafici simmetrici rispetto all'asse delle ascisse).
   

• Portando il punto  d  leggermente a sinistra, pur mantenendolo sotto l'asse delle ascisse, si evidenziano i rettangoli coordinati relativi alle basi delle funzioni  exp_1/a  e  log_1/a. Portando  d  nel terzo quadrante, rimangono solo i grafici delle quattro funzioni.