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monotonìa di una funzione logaritmica

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• Hai già constatato, sulla figura interattiva di una sezione precedente, che la funzione  log_a  cresce o decresce a seconda che cresce o decresce la corrispondente funzione  exp_a. Puoi esplorare nuovamente la situazione anche con la figura di sopra (la base a va qui spostata in orizzontale col mouse), Ritroverai ciò che si era allora detto, cioè che  log_a  e  exp_a  crescono quando  a>1, mentre decrescono quando  0<a<1.
   

• Riesaminiamo la questione da un punto di vista più rigoroso. Il fatto che il carattere di crescente/decrescente è condiviso dalle due funzioni  log_a  e  exp_a  non dipende dalla loro particolare conformazione, ma solo dal fatto che esse sono l'una l'inversa dell'altra. Infatti, se  f  e  g  sono due funzioni una inversa dell'altra:
  

  Nel caso in cui  f  è crescente, anche  la  g  è crescente: infatti se  x<x'  e  y=g(x)  e  y'=g(x'), si deve necessariamente avere che  y<y', altrimenti si avrebbe  y'<y  oppure  y=y', cose che comporterebbero rispettivamente  x'=f(y')<f(y)=x e x=f(y)=f(y')=x'  (contro il fatto che x<x').

  Nel caso in cui  f  è decrescente, anche  la  g  è decrescente: infatti se  x<x'  e  y=g(x)  e  y'=g(x'), si deve necessariamente avere che  y>y', altrimenti si avrebbe  y<y'  oppure  y=y', cose che comporterebbero rispettivamente  x=f(y)>f(y')=x' e x=f(y)=f(y')=x'  (contro il fatto che x<x').

  
  

• Dal momento che solo per a=1 la funzione  exp_a  non è né crescente né decrescente (in quanto è costante), e che per tale valore della base la funzione logaritmica non è definita, desumiamo che:
       una funzione logaritmica può essere solo crescente  ( se la base supera 1 ) o decrescente  ( se la base è inferiore a 1 ).