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la funzione logaritmo in base  a

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• Nella sezione precedente abbiamo visto come passare dalla funzione  exp_a   alla relazione inversa  exp_a^-1 . In questa figura la base  a  è rappresentata questa volta sull'asse delle ascisse e quindi va mossa col mouse in orizzontale. Abbiamo anche già notato che quando a=1 la relazione  exp_a^-1  diventa una retta verticale, che non corrisponde a una funzione. In tutti gli altri casi, ovviamente con  a  positivo (altrimenti  exp_a  non esiste neanche), la relazione  exp_a^-1={ (x,y) :  x=a^y }  è una funzione.
   

• Pertanto, se  a>0  e  a≠1, possiamo definire la  funzione logaritmica   in  base   a   nel seguente modo:  log_a=exp_a^-1.
  Abbiamo quindi:     log_a = exp_a^-1 = { (x,y) :  x = a^y } = { (x,y) :  y = log_a(x) }.
   

• Muovendo  a  in figura possiamo notare come per  a=1  la funzione logaritmica scompare e come per  a<0  scompaiono entrambe le funzioni esponenziale e logaritmica. Inoltre, fissato a piacere un valore di a, esclusi quelli appena detti, verifichiamo muovendo  c  che  log_a(a)=1   (così come  exp_a(1)=a).