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Nella sezione 7 sulla simmetria fra funzioni
logaritmiche, hai visto che logaritmi in basi reciproche sono opposti, in
formula: log1/a = -loga.
In questa sezione ci occuperemo invece della seguente proprietà
loga(1/x)=-logax, in
parole: i logaritmi nella stessa base di numeri
reciproci sono opposti. Quindi, ad
esempio : loga(1/5)=-loga5.
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La figura è analoga a quella della sezione 7: vedi, in
blu, la funzione expa,
esponenziale in base a (con evidenziato il
fatto che tale funzione vale a in
corrispondenza all'ascissa 1) e, in
rosso, la funzione
loga, logaritmica nella
stessa base (che quindi vale 1 in
corrispondenza all'ascissa a). Puoi muovere
a in verticale per modificare la base. Vedi
anche un punto, d, che serve da
interruttore : portandolo sotto l'asse delle ascisse si evidenziano
altre due funzioni: in viola, la funzione
x
→ expa(-x), simmetrica
di expa rispetto all'asse delle
ordinate, che, come già dovresti sapere, è la funzione
exp!/a (con la base
1/a, reciproca di a);
in verde, la funzione
-loga simmetrica di loga
rispetto all'asse delle ascisse.
Partendo dall'ascissa x=b, un
segmento azzurro si muove in verticale per
raggiungere il punto (b,logab)∈loga
e da questo punto, proseguendo in orizzontale e seguendo sempre la
traiettoria azzurra a segmenti coordinati (ossia
verticali o orizzontali), si passa a (0,logab)
e successivamente a (logab,0),
poi al punto (logab,b)∈expa
e infine a (0,b), che, come è evidenziato
sempre in azzurro, non è altro che b
riportato sull'asse delle ordinate. Dal fatto che
(logab,b)∈expa
si deduce (tenendo presente che l'esponenziale dell'opposto è il reciproco
dell'esponenziale) (-logab,1/b)∈expa.
Pertanto, invertendo le coordinate della coppia ordinata:
(1/b,-logab)∈loga,
ovvero: loga(1/b)=-logab.
La poligonale grigia in figura illustra il passaggio, tramite scambio fra
ascissa e ordinata da (-logab,1/b)∈expa
a (1/b,-logab)∈loga.
Inoltre, se il punto d è sotto l'asse
delle ascisse (in modo da mostrare i grafici viola
e verde), portandolo leggermente più a
sinistra si evidenzia il passaggio dalla poligonale precedente a quella
relativa a (logab,1/b)∈exp1/a
e (1/b,logab)∈log1/a=-loga.
Concludiamo che, in definitiva: loga(1/x)=-logax=log1/ax.
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La proprietà loga(1/x)=-logax
è di tipo strutturale, ossia dipende, come
dicevamo nella sezione precedente, dal fatto che una funzione logaritmica
porta prodotti in somme : infatti, se una funzione
g ha la proprietà di portare prodotti
in somme, si ha g(1)=g(x·(1/x))=g(x)+g(1/x)
e quindi, siccome (sempre per quanto detto nella sezione precedente)
g(1)=0, ricaviamo:
g(1/x)=-g(x).
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